Подтвердите сходимость данного ряда и определите его сумму: 1/(n+5)(n+6

Суть вопроса: Сходимость и сумма ряда

Объяснение: Чтобы подтвердить сходимость данного ряда и определить его сумму, мы должны исследовать его поведение при увеличении значения n. Для этого мы можем использовать тест сравнения или правило Даламбера.

Для данного ряда 1/(n+5)(n+6), мы можем преобразовать выражение в следующий вид: 1/(n+5)(n+6) = A/(n+5) + B/(n+6), где A и B - постоянные коэффициенты, которые мы должны найти.

Применяя метод неопределенных коэффициентов, мы найдем, что A = -1 и B = 1. Теперь мы можем разложить исходное выражение на простейшие дроби: -1/(n+5) + 1/(n+6).

Теперь мы можем проанализировать сходимость полученного ряда. Если мы рассмотрим предел абсолютной величины каждого члена ряда, мы увидим, что предел равен 0. Таким образом, ряд сходится.

Теперь давайте определим сумму этого ряда. Мы можем расписать каждый член ряда: (-1/(n+5) + 1/(n+6)). Если мы просуммируем каждый член ряда от n = 1 до бесконечности, мы получим 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 + 1/3 - 1/4 и так далее.

Это геометрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 2. Сумма этой геометрической прогрессии равна 1/2.

Таким образом, сходимость данного ряда подтверждена, и сумма ряда равна 1/2.

Совет: Чтобы лучше понять сходимость рядов и методы их определения, рекомендуется изучать теорию рядов и ознакомиться с примерами и задачами по этой теме.

Закрепляющее упражнение: Подтвердите сходимость и найдите сумму ряда: 1/(n^2 + 5n + 6).