Подтвердите, что для любого натурального числа N выражение (11N - 1)^2 - (5N + 1)^2 является кратным целому числу

Содержание: Доказательство кратности выражения

Объяснение: Чтобы подтвердить, что данное выражение является кратным целому числу для любого натурального числа N, мы должны показать, что оно делится нацело на какое-то число без остатка.

Раскроем оба квадрата в данном выражении:

(11N - 1)^2 = (121N^2 - 22N + 1),
(5N + 1)^2 = (25N^2 + 10N + 1).

Теперь вычтем второе выражение из первого:

(121N^2 - 22N + 1) - (25N^2 + 10N + 1) = 96N^2 - 32N = 32N(3N - 1).

Мы видим, что получившееся выражение содержит множитель 32N. Это означает, что оно делится нацело на 32N и, следовательно, на любое натуральное число N. Таким образом, можно сделать вывод, что для любого натурального числа N выражение (11N - 1)^2 - (5N + 1)^2 является кратным целому числу.

Доп. материал: Докажите, что выражение (33N - 1)^2 - (15N + 1)^2 является кратным целому числу.

Совет: Для удобства раскрытия квадратов, используйте формулу (a - b)(a + b) = a^2 - b^2. Обратите внимание на наличие общих множителей и их влияние на кратность выражения.

Дополнительное задание: Подтвердите, что выражение (7N - 2)^2 - (3N + 1)^2 является кратным целому числу.