PLEASE Найдите следующие значения для многочлена P(x) = (x + 2)^6: a) Какой коэффициент соответствует x^6? б) Какой

Суть вопроса: Многочлены и их коэффициенты

Инструкция:
Многочлены - это алгебраические выражения, состоящие из суммы или разности мономов. Каждый моном состоит из переменной, возведенной в некоторую степень, умноженной на коэффициент. В данной задаче у нас есть многочлен P(x) = (x + 2)^6.

а) Для нахождения коэффициента при x^6 нам понадобится формула для разложения бинома Ньютона. Формула гласит: (a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^(0) + C(n, 1) * a^(n-1) * b^(1) + ... + C(n, n) * a^(0) * b^n, где C(n, k) - биномиальный коэффициент (число сочетаний из n по k). В нашем случае n = 6, a = x и b = 2.

Таким образом, коэффициент при x^6 равен C(6, 6) * x^6 * 2^0 = 1 * x^6 * 1 = x^6.

б) Для нахождения коэффициента при x нам понадобится снова использовать формулу разложения бинома Ньютона. В нашем случае, коэффициент при x будет равен C(6, 5) * x^5 * 2^1 = 6 * x^5 * 2 = 12x^5.

в) Чтобы найти коэффициент при x^3, мы воспользуемся той же формулой разложения бинома Ньютона. Получим C(6, 3) * x^3 * 2^3 = 20 * x^3 * 8 = 160x^3.

г) Свободный член - это коэффициент при x^0, то есть число, не содержащее переменной x. В разложении бинома Ньютона, коэффициент при x^0 всегда равен 1. Итак, свободный член имеет значение 1.

Пример:
Для многочлена P(x) = (x + 2)^6, найдем значения следующих коэффициентов:
а) Коэффициент при x^6 равен x^6.
б) Коэффициент при x равен 12x^5.
в) Коэффициент при x^3 равен 160x^3.
г) Свободный член равен 1.

Совет:
Для решения подобных задач по многочленам важно хорошо знать формулу разложения бинома Ньютона и уметь применять ее. Также полезно помнить, что коэффициент при x^0 всегда равен 1.

Упражнение:
Найдите значения коэффициентов для многочлена Q(x) = (2x - 3)^4:
а) Коэффициент при x^4.
б) Коэффициент при x.
в) Коэффициент при x^2.
г) Свободный член.