Определите значение переменной n, если известно, что выражение (√8)^n*(√75)^n/10^n равно 1/6√6

Тема: Решение уравнений с переменными в степени

Пояснение: Чтобы найти значение переменной n, которое удовлетворяет уравнению, нам необходимо использовать свойства степеней и упростить выражение. Давайте посмотрим на каждую часть уравнения.

Вначале, по свойствам корней, мы можем упростить (√8)^n и (√75)^n, заменив квадратный корень на само число под корнем. Таким образом, получим 8^(n/2) и 75^(n/2).

Теперь, воспользуемся свойствами степеней и дробей. Мы можем объединить два слагаемых в знаменателе, поскольку они имеют общую базу 6: 1/6 * √6.

Используя правила степеней и добываем в числителе и знаменателе, упростим выражение. Результатом будет 8^(n/2) * 75^(n/2) / 10^n = 1/6 * √6.

Чтобы продолжить, мы можем представить 8 и 75 как степени числа 2, так как 8 = 2^3 и 75 = 5^2 * 3. Таким образом, наше выражение становится (2^3)^(n/2) * (5^2 * 3)^(n/2) / 10^n = 1/6 * √6.

Далее, применяем свойства степеней: при умножении чисел с одинаковой базой степень складывается. Используя это свойство, мы получаем (2^(3(n/2))) * (5^(2(n/2)) * 3^(n/2)) / 10^n = 1/6 * √6.

Теперь, для дальнейшего упрощения, мы можем сократить степени 2 и 10. Когда числа с одинаковой базой делятся, их степени с вычетом равны вычету степеней. Это означает, что (3(n/2)) - n = 1.

Найдем общий знаменатель и решим уравнение: 3n/2 - 2n/2 = 1, что равно n/2 = 1. Умножив обе стороны уравнения на 2, получим n = 2.

Таким образом, значение переменной n равно 2.

Пример использования: Найдите значение переменной n в уравнении (√8)^n * (√75)^n / 10^n = 1/6√6.

Совет: Чтобы более легко решать уравнения с переменными в степени, убедитесь, что вы знакомы с правилами степеней, свойствами корней и применением этих правил в упрощении выражений. Также важно следить за знаками и не забыть применять алгебраические операции в нужных местах.

Упражнение: Решите уравнение (1/2)^x * (1/4)^x = (1/16)^x. Найдите значение переменной x.