Определить точки, в которых функция f(x, y) = xy достигает условного экстремума, и найти наибольшие и наименьшие

Определение условного экстремума и поиск точек экстремума

Описание:

Для определения точек, в которых функция достигает условного экстремума, мы должны использовать метод множителей Лагранжа. Данный метод позволяет нам учесть условие, которое задано в задаче, в данном случае x + y = k, где k - постоянная.

Начнем с формулировки задачи:

Мы должны найти точки (x, y), при которых функция f(x, y) = xy достигает условного экстремума, учитывая ограничение x + y = k.

1. Составим функцию Лагранжа:
L(x, y, λ) = xy + λ(x + y - k), где λ - множитель Лагранжа.

2. Найдем частные производные функции Лагранжа по переменным x, y и λ:
∂L/∂x = y + λ,
∂L/∂y = x + λ,
∂L/∂λ = x + y - k.

3. Решим систему уравнений, приравняв частные производные к нулю:
y + λ = 0,
x + λ = 0,
x + y - k = 0.

Решим первые два уравнения относительно переменных x и y:
y = -λ,
x = -λ.

Подставим полученные значения x и y в третье уравнение:
-λ + (-λ) - k = 0,
-2λ - k = 0,
λ = -k/2.

4. Найдем значения переменных x и y, используя найденное значение λ:
x = -λ = k/2,
y = -λ = k/2.

Получили точку (x, y) = (k/2, k/2), которая является точкой экстремума при условии x + y = k.

Дополнительный материал:

Пусть условие задачи равно x + y = 8. Для нахождения точек экстремума при таком условии, мы можем использовать найденную формулу (k/2, k/2), где k = 8:

Точка экстремума: (8/2, 8/2) = (4, 4).

Наибольшее значение функции f(x, y) = xy при условии x + y = 8 равно 4*4 = 16.
Наименьшее значение функции f(x, y) = xy при условии x + y = 8 также равно 4*4 = 16.

Совет:
1. Для лучшего понимания и освоения метода множителей Лагранжа, рекомендуется изучить материал по математическому анализу и оптимизации функций.

Задание:
Определите точки, в которых функция f(x, y) = 2x + 3y достигает условного экстремума при условии x + y = 10. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции при данном условии. (Ответ: Точка экстремума: (5, 5). Наибольшее и наименьшее значение функции f(x, y) = 2x + 3y при условии x + y = 10 равны 25.)