Определить координаты центра и радиус описанного окружности треугольника с вершинами А(4: 8), Б(-3: 2) и С(1

Треугольник: ABC с вершинами А(4, 8), Б(-3, 2) и С(1, -2).

Разъяснение: Чтобы определить координаты центра и радиус описанной окружности треугольника, мы должны использовать понятие перпендикуляров, серединных перпендикуляров и центр окружности, образованной этими перпендикулярами.

1. Найдите координаты серединных точек:
- Между точками A и B: Мидпоинт AB = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2) = ((4 + (-3)) / 2, (8 + 2) / 2) = (1/2, 5).
- Между точками B и C: Мидпоинт BC = ((x₂ + x₃) / 2, (y₂ + y₃) / 2) = ((-3 + 1) /2 , (2 + (-2)) / 2) = (-1/2, 0).
- Между точками C и A: Мидпоинт CA = ((x₃ + x₁) / 2, (y₃ + y₁) /2 ) = ((1 + 4) / 2, (-2 + 8) / 2) = (5/2, 3).

2. Найдите коэффициенты наклона (градиенты) прямых, проходящих через серединные точки:
- Между точками A и B: Суть the gradient 𝑚₁ = (𝑦₂ − 𝑦₁)/(𝑥₂ − 𝑥₁) = (5−8)/(1/2−4) = -3/(-7/2) = 6/7.
- Между точками B и C: Суть the gradient 𝑚₂ = (𝑦₃ − 𝑦₂)/(𝑥₃ − 𝑥₂) = (0−2)/(-1/2−(-3)) = -2/(-1/2+3) = -2/(6.5) = -4/13.
- Между точками C и A: Суть the gradient 𝑚₃ = (𝑦₁ − 𝑦₃)/(𝑥₁ − 𝑥₃) = (8−(-2))/(4−1/2) = 10/(71/2) =20/71.

3. Используя полученные коэффициенты наклона и серединные точки, уравнения перпендикуляров имеют вид:
- Перпендикуляр к AB, проходящий через его серединную точку, имеет градиент -1/𝑚₁ = -7/6 и проходит через точку (1/2, 5). Таким образом, его уравнение имеет вид 𝑦 − 5 = (-7/6)(𝑥 − 1/2).
- Перпендикуляр к BC, проходящий через его серединную точку, имеет градиент -1/𝑚₂ = -13/4 и проходит через точку (-1/2, 0). Таким образом, его уравнение имеет вид 𝑦 = (-13/4)𝑥 + 13/8.
- Перпендикуляр к CA, проходящий через его серединную точку, имеет градиент -1/𝑚₃ = -71/20 и проходит через точку (5/2, 3). Таким образом, его уравнение имеет вид 𝑦 − 3 = (-71/20)(𝑥 − 5/2).

4. Решите систему уравнений, состоящую из уравнений перпендикуляров, чтобы найти точку пересечения - центр окружности. Это можно сделать, решив две из этих трех линий.
- Решение для 𝑦 − 5 = (-7/6)(𝑥 − 1/2) и 𝑦 = (-13/4)𝑥 + 13/8:
- Подставьте второе уравнение в первое: (-13/4)𝑥 + 13/8 − 5 = (-7/6)(𝑥 − 1/2).
- Решите уравнение и найдите 𝑥: -13/4𝑥 + 13/8 − 40/8 = (-7/6)(𝑥 − 1/2).
- Упростите выражение: -𝑥/4 − (7/8)(𝑥 − 1/2) - 40/8.
- Найдите 𝑥: -𝑥/4 − (7/8)(𝑥 − 1/2) = 5.
- Решите уравнение и найдите 𝑥: 7𝑥/8 − (7/8)(𝑥/2) = 5.
- Упростите выражение: 7𝑥/8 − (7/16)𝑥 = 5.
- Найдите 𝑥: 14𝑥 − 7𝑥 = 80.
- Решите уравнение и найдите 𝑥: 7𝑥 = 80.
- Подсчитайте 𝑥: 𝑥 = 80/7.

- Подставьте найденное значение 𝑥 в уравнение 𝑦 = (-13/4)𝑥 + 13/8: 𝑦 = (-13/4)(80/7) + 13/8.
- Упростите выражение: 𝑦 = -130/7 + 13/8.
- Найдите 𝑦: 𝑦 = -(1040/56) + 91/56.
- Подсчитайте 𝑦: 𝑦 = -949/56.

5. Таким образом, координаты центра описанной окружности треугольника ABC: 𝐶𝑂 = (80/7, -949/56).

6. Чтобы найти радиус описанной окружности, мы должны найти расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника.
- Для примера, найдем расстояние от центра до вершины A.
- Расстояние между двумя точками вычисляется с использованием формулы длины отрезка: √((𝑥₂−𝑥₁)²+(𝑦₂−𝑦₁)²).
- В нашем случае, расстояние от центра до вершины A = √((80/7−4)²+(-949/56−8)²).
- Упростите выражение: √((80/7−28/7)²+(-949/56−448/56)²).
- Найдите расстояние: √((52/7)²+(-497/56)²).
- Ответ: Радиус описанной окружности треугольника ABC равен √((52/7)²+(-497/56)²).

Совет: При решении подобных задач, будьте внимательны и аккуратны при вычислениях, чтобы избежать ошибок в расчетах и получить правильные ответы.

Проверочное упражнение: Найти координаты центра и радиус описанной окружности треугольника с вершинами D(-2, 3), E(1, -1) и F(4, 5).