Необходимо доказать компланарность векторов AC, BD и A1B1 для параллелограммов ABCD и A1B1CD

Содержание вопроса: Компланарность векторов

Объяснение:
Компланарность означает, что векторы лежат в одной плоскости. Для доказательства компланарности векторов AC, BD и A1B1 в параллелограммах ABCD и A1B1CD можно воспользоваться определением параллелограмма и свойствами векторов.

Параллелограмм ABCD имеет стороны AB, BC, CD и DA. Зная, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, можно записать, что AB = DC и AD = BC.

По определению вектора AB, вектор AC можно представить как сумму векторов AB и BC: AC = AB + BC. Аналогично, вектор BD можно представить как сумму векторов BA и AD: BD = BA + AD.

Теперь рассмотрим параллелограмм A1B1CD. Зная, что противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны, можно записать, что A1B1 = DC и A1D = C1B1.

Вектор AC, вектор = A1D + DC. Подставляя значения векторов, получаем: AC = A1D + DC = C1B1 + DC.

Мы видим, что AC = C1B1 + DC, а также аналогичное разложение для вектора BD. Получается, что векторы AC, BD и A1B1 могут быть выражены через соответствующие им векторы других параллелограмма. Отсюда следует, что векторы AC, BD и A1B1 лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Например:
Параллелограмм ABCD задан векторами AB = (2, 3), BC = (4, 1). Параллелограмм A1B1CD задан векторами A1B1 = (6, 4), A1D = (-2, -1). Докажите, что векторы AC, BD и A1B1 лежат в одной плоскости.

Совет:
Для более полного понимания доказательства компланарности векторов рекомендуется изучить свойства параллелограммов и операции с векторами. Работая с задачами по векторной алгебре, важно внимательно анализировать и использовать определения и свойства для вывода нужных результатов.

Задание для закрепления:
Параллелограмм XYZW задан векторами XY = (3, 4), YZ = (5, 2). Параллелограмм W1Z1YX задан векторами W1Z1 = (7, 6), W1X = (-1, -3). Докажите компланарность векторов XZ, W1Y и Z1W.