Необходимо доказать, что векторы (a - d) и (b - с) являются коллинеарными, при условии, что векторы a, b, c

Содержание: Доказательство коллинеарности векторов

Инструкция: Чтобы доказать, что векторы (a - d) и (b - с) являются коллинеарными, мы должны показать, что они пропорциональны, то есть один может быть получен из другого умножением на некоторую константу.

Известно, что [a, b] = [c, d], где [a, b] - скалярное произведение векторов a и b, и [a, c] = [b, d], где [a, c] - скалярное произведение векторов a и c.

Мы можем использовать свойство скалярного произведения, известное как аддитивность, которое гласит: [a, c] + [c, d] = [a, d].

Преобразуем данное равенство: [a, b] + [b, d] = [a, d].

Заметим, что [a, d] = [a, b] + [b, d] - [a, c].

Теперь рассмотрим выражение (a - d) - (b - с). Мы можем записать его как (a - b) + (с - d), и его можем переписать с использованием скалярного произведения: [a - d] = [a - b] + [c - d].

Мы видим, что скалярное произведение (a - d) и (b - с) равно [a, b] + [c, d] - [a, c].

Из предыдущих рассуждений, мы знаем, что [a, b] + [c, d] - [a, c] равно [a, d]. Поэтому скалярное произведение (a - d) и (b - с) равно [a, d].

Таким образом, мы доказали, что векторы (a - d) и (b - с) коллинеарны, поскольку их скалярное произведение совпадает.

Например:
Даны векторы a = (1, 2), b = (3, 4), c = (5, 6) и d = (7, 8). Докажите, что векторы (a - d) и (b - с) коллинеарны.

Совет:
1. Возможно, будет полезно использовать свойства скалярного произведения векторов.
2. Помните, что для коллинеарных векторов их скалярное произведение равно произведению их длин.

Дополнительное задание: Проверьте, являются ли векторы a = (2, 5) и b = (-4, -10) коллинеарными.