Найти значение выражения (3a+b)(a+3b), если известно, что длина вектора a равна 2, длина вектора b равна 7, а угол

Тема: Раскрытие скобок в выражении с векторами

Пояснение: Для начала, давайте раскроем скобки в данном выражении. У нас есть два множителя: (3a+b) и (a+3b). Чтобы раскрыть скобки, умножим каждый элемент первого множителя на каждый элемент второго множителя. Получим следующее:

(3a+b)(a+3b) = 3a*a + 3a*3b + b*a + b*3b

Теперь у нас есть несколько выражений, которые нужно упростить. Для этого воспользуемся свойствами умножения векторов.

- Умножение вектора на самого себя даёт квадрат его длины. Таким образом, a*a = ||a||^2.

- Умножение вектора на другой вектор даёт произведение модулей векторов, умноженное на косинус угла между ними. То есть, a*b = ||a|| * ||b|| * cos(угол между a и b).

Используя эти свойства, мы можем упростить выражение:

3a*a + 3a*3b + b*a + b*3b = 3*(||a||^2) + 3*(||a|| * ||b|| * cos(30)) + (||a|| * ||b|| * cos(30)) + 3*(||b||^2)

Так как нам дано, что длина вектора a равна 2, а длина вектора b равна 7, мы можем подставить эти значения в выражение:

3*(2^2) + 3*(2*7*cos(30)) + (2*7*cos(30)) + 3*(7^2)

Теперь у нас осталось только выполнить арифметические вычисления, чтобы найти значение данного выражения.

Пример использования: Найти значение выражения (3a+b)(a+3b), если известно, что длина вектора a равна 2, длина вектора b равна 7, а угол между ними равен 30.

Совет: При решении подобных задач с векторами, всегда внимательно читайте условие и используйте свойства умножения векторов для упрощения выражений.

Упражнение: Найти значение выражения (2a-b)(a+2b), если известно, что длина вектора a равна 3, длина вектора b равна 5, а угол между ними равен 45.