Найдите значение косинуса угла в треугольнике АВС, где А(-4;8), В(2;14), С(4;0

Тема вопроса: Косинус угла в треугольнике

Описание: Для нахождения значения косинуса угла в треугольнике АВС с заданными координатами точек А(-4;8), В(2;14) и С(4;0), мы можем использовать определение косинуса.

Косинус угла можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (AB ⋅ AC) / (|AB| ⋅ |AC|),

где AB - вектор, направленный из точки A в точку B, и AC - вектор, направленный из точки A в точку C.

Для начала, мы должны вычислить векторы AB и AC.

AB = (x2 - x1, y2 - y1) = (2 - (-4), 14 - 8) = (6, 6).

AC = (x3 - x1, y3 - y1) = (4 - (-4), 0 - 8) = (8, -8).

Затем мы найдем их длины |AB| и |AC| с помощью формулы:

|AB| = √(x_AB^2 + y_AB^2),

где x_AB и y_AB - координаты вектора AB.

|AB| = √(6^2 + 6^2) = √(36 + 36) = √72 ≈ 8.49.

|AC| = √(x_AC^2 + y_AC^2),

где x_AC и y_AC - координаты вектора AC.

|AC| = √(8^2 + (-8)^2) = √(64 + 64) = √128 ≈ 11.31.

Теперь мы можем вычислить значение косинуса угла:

cos(θ) = (AB ⋅ AC) / (|AB| ⋅ |AC|) = (6 * 8 + 6 * (-8)) / (8.49 * 11.31) ≈ (-48) / 95 ≈ -0.505.

Таким образом, значение косинуса угла в треугольнике АВС примерно равно -0.505.

Совет: Чтобы лучше понимать геометрические задачи и использовать формулы, полезно хорошо знать основные понятия и свойства треугольников, а также уметь работать с координатами точек на плоскости.

Проверочное упражнение: Найдите значение синуса угла в треугольнике DEF, где D(0;0), E(3;9), F(-6;4).

Тема урока: Косинус угла в треугольнике

Объяснение: Для нахождения значения косинуса угла в треугольнике АВС нам необходимо знать длины сторон этого треугольника. Однако, в данном случае у нас есть координаты вершин треугольника, поэтому мы можем воспользоваться формулой для нахождения длины стороны треугольника.

Для этого мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в координатной плоскости:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2),

где d - расстояние между двумя точками с координатами (x1, y1) и (x2, y2).

Таким образом, мы можем найти длины сторон треугольника АВС:

AB = √((2 - (-4))^2 + (14 - 8)^2),
BC = √((4 - 2)^2 + (0 - 14)^2),
AC = √((-4 - 4)^2 + (8 - 0)^2).

Затем, после нахождения длин сторон треугольника, мы можем воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла:

cos(θ) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC),

где AB, BC и AC - длины сторон треугольника, θ - искомый угол.

Пример: Найдём значение косинуса угла в треугольнике АВС, где А(-4;8), В(2;14), С(4;0).

AB = √((2 - (-4))^2 + (14 - 8)^2) = √(36 + 36) = √72,
BC = √((4 - 2)^2 + (0 - 14)^2) = √(4 + 196) = √200,
AC = √((-4 - 4)^2 + (8 - 0)^2) = √(64 + 64) = √128.

cos(θ) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC) = (72 + 200 - 128) / (2 * √72 * √200) = 144 / (2 * √72 * √200) = 72 / (√72 * √200) = 6 / (√2 * √5) = (6 * √2 * √5) / (2 * √2 * √5) = 3 / 1 = 3.

Таким образом, значение косинуса угла в треугольнике АВС равно 3.

Совет: Для упрощения вычислений рекомендуется сократить общие множители перед вычислением косинуса. Также стоит убедиться, что вы правильно нашли длины сторон треугольника перед использованием формулы для косинуса угла.

Закрепляющее упражнение: Найдите значение косинуса угла в треугольнике, если А(0;0), В(3;5), С(-2;4).