Найдите все возможные значения a, при которых система неравенств (a+7x+4)(a−2x+4)≤0 и a + 3x ≥ x^2 имеет хотя бы одно

Тема урока: Решение системы неравенств

Разъяснение: Для того чтобы найти все значения a, при которых система неравенств имеет хотя бы одно решение, мы должны рассмотреть два условия. Первое условие - это неравенство (a+7x+4)(a−2x+4)≤0, которое должно иметь значения x, при которых выражение меньше или равно нулю. Второе условие - это a + 3x ≥ x^2, которое должно иметь значения x, удовлетворяющие неравенству.

Давайте рассмотрим первое условие: (a+7x+4)(a−2x+4)≤0. Чтобы понять, при каких значениях a это неравенство выполняется, мы можем разложить его на множители: a^2 + (2a + 7)x + (4a + 16) - 14x ≤ 0. Затем мы можем оставить только слагаемые, содержащие a и x: a^2 + (2a - 7)x + (4a + 16) ≤ 0.

Для того чтобы это неравенство выполнялось, должны выполняться два условия. Во-первых, коэффициент при a^2 должен быть положительным, а значит, a^2 > 0. Во-вторых, дискриминант (2a - 7)^2 - 4(a + 16) должен быть неотрицательным или равным нулю, что дает нам условие: (2a - 7)^2 - 4(a + 16) ≤ 0.

Теперь перейдем ко второму условию: a + 3x ≥ x^2. Это неравенство можно переписать в виде x^2 - 3x + a ≤ 0. Чтобы найти значения a, при которых это неравенство выполняется, мы можем рассмотреть его дискриминант: D = (-3)^2 - 4a. В случае, когда D ≥ 0, неравенство выполняется.

Таким образом, мы должны решить следующую систему неравенств:

a^2 > 0

(2a - 7)^2 - 4(a + 16) ≤ 0

(-3)^2 - 4a ≥ 0

Решив эту систему неравенств, найдем все возможные значения a, при которых система неравенств имеет хотя бы одно решение.

Например:
Пусть мы выбрали a=4.

Подставим a=4 в первое неравенство: (4+7x+4)(4−2x+4)≤0. Раскроем скобки и упростим выражение: (11x + 8)(2 - x) ≤ 0.

Подставим a=4 во второе неравенство: 4 + 3x ≥ x^2. Перепишем его в виде x^2 - 3x + 4 ≤ 0.

Мы получили неравенства, которые можно решить и найти значения x, при которых неравенства выполняются.

Совет: Для решения таких систем неравенств лучше всего использовать графический метод или метод интервалов. Графический метод поможет визуализировать решение, а метод интервалов позволит найти все возможные значения a.

Задание для закрепления: Найдите все возможные значения a, при которых система неравенств (a+5x+2)(a−3x+2)≤0 и a + 2x ≥ x^2 имеет хотя бы одно решение.