Найдите уравнения касательных и нормалей к параболе y = 2x^2+1 в точках с координатами x_1= -1; x_2

Суть вопроса: Уравнения касательных и нормалей к параболе

Инструкция: Чтобы найти уравнения касательных и нормалей к параболе, необходимо использовать метод дифференцирования. Для начала найдем производную функции параболы y = 2x^2+1. Производная функции будет равна 4x. Затем подставим вместо x координаты точек, в которых необходимо найти касательные и нормали.

Для точки с координатами (-1, y):

1. Найдем значение функции в данной точке: подставим x = -1 в уравнение параболы и найдем y. Получим y = 2*(-1)^2 + 1 = 3.
2. Найдем значение производной в данной точке: подставим x = -1 в производную функции и найдем производную. Получим производную равную -4.

Теперь мы знаем значение функции и значение производной в данной точке. Используем эти значения для нахождения уравнений касательной и нормали.

Уравнение касательной:
y - y1 = f"(x1)*(x - x1), где y1 - значение функции в точке, x1 - координата x точки, f"(x1) - значение производной в точке.

Подставим значения в уравнение: y - 3 = -4*(x - (-1)).

Уравнение нормали:
y - y1 = -1/f"(x1)*(x - x1), где y1 - значение функции в точке, x1 - координата x точки, f"(x1) - значение производной в точке.

Подставим значения в уравнение: y - 3 = -1/(-4)*(x - (-1)).

Доп. материал: Найдите уравнение касательной и нормали к параболе y = 2x^2+1 в точке с координатами (-1, 3).

Совет: Для лучшего понимания материала, рекомендуется изучить основные понятия дифференцирования и применять их в решении задач.

Задание для закрепления: Найдите уравнение касательной и нормали к параболе y = 3x^2+2 в точке с координатами (2, 14).

Тема занятия: Уравнения касательных и нормалей к параболе

Описание: Чтобы найти уравнения касательных и нормалей к параболе в заданных точках, следует применить знания из дифференциального исчисления. Касательная к параболе будет являться прямой, касающейся параболы в заданной точке, а нормаль - прямой, перпендикулярной касательной.

1. Найдем производную функции y = 2x^2 + 1. Производная функции показывает наклонный коэффициент касательной в каждой точке.
y" = d(2x^2 + 1)/dx = 4x.

2. Подставим координату x_1 = -1 в производную функцию, чтобы найти наклонный коэффициент касательной в точке x_1.
y"(x_1) = 4*(-1) = -4.

3. Используя найденный наклонный коэффициент и координаты точки x_1, составим уравнение касательной. Уравнение будет иметь вид y - y_1 = m(x - x_1), где m - найденный наклонный коэффициент, x_1 - координата x точки x_1, y_1 - соответствующая координата y.
y - y_1 = -4(x - x_1).

4. Аналогично проделаем для второй точки x_2.

Доп. материал: Найдите уравнения касательных и нормалей к параболе y = 2x^2 + 1 в точках (-1, 3) и (2, 9).

Совет: При решении подобных задач полезно вспомнить основные свойства производной функции и уравнение прямой.

Задание: Найдите уравнения касательных и нормалей к параболе y = 3x^2 + 2 в точках (-2, 14) и (1, 5).