Найдите сумму s, которую можно выразить заданным образом: s = frac{1}{3}- frac{3}{3^2}+ frac{5}{3^3

Содержание: Сумма геометрической прогрессии с переменными знаками

Описание: Данная задача связана с геометрической прогрессией, в которой знаки слагаемых меняются. Для нахождения суммы данной прогрессии, нам понадобится использовать формулу для суммы геометрической прогрессии:

\[ S = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \],

где S - сумма прогрессии, \( a_1 \) - первый член прогрессии, r - знаменатель прогрессии и n - количество членов прогрессии.

В нашем случае первый член прогрессии \( a_1 = \frac{1}{3} \), знаменатель прогрессии \( r = \frac{-1}{3} \) и количество членов прогрессии n неограниченно.

Важно заметить, что при большом n знаменатель \(\frac{-1}{3}\) будет стремиться к нулю, что приведет к бесконечному значению суммы S.

Однако, изначально сумма S является конечной, так как при каждом шаге знаменатель увеличивается в 3 раза, хотя числитель остается ограниченным для каждого члена прогрессии. Таким образом, мы можем найти конечную сумму данной прогрессии.

Доп. материал: Найдем сумму s, используя данную формулу:

\[ s = \frac{1}{3} - \frac{3}{3^2} + \frac{5}{3^3} - \frac{7}{3^4} + (-1)^{n+1}\frac{2n-1}{3^n} \]

В данном примере количество членов n не указано, поэтому формула работает для любого значения n.

Совет: Для лучшего понимания и решения данной задачи, вы можете рассмотреть первые несколько членов прогрессии и заметить паттерн в знаках и числителях слагаемых. Также, если вы запишете первые несколько членов прогрессии в скобках и посчитаете сумму, вы можете обнаружить закономерность в возрастании степени знаменателя и появившихся слагаемых.

Проверочное упражнение: Найдите значение суммы s для n = 5.

Тема вопроса: Сумма бесконечного ряда

Пояснение: Данное выражение представляет собой сумму бесконечного ряда. Чтобы найти сумму ряда, мы должны привести его к виду, где каждый член можно выразить через первый член ряда. В данном случае, первый член ряда равен 1/3, а каждый следующий член можно получить, умножив предыдущий член на -2/3 и умножив на (-1)^(n+1), где n - номер члена ряда (начиная с 2).

Выражение в формуле можно переписать в следующем виде: s = 1/3 - (3/3^2)(-2/3) + (5/3^3)(-2/3)^2 - (7/3^4)(-2/3)^3 + ...

Мы можем заметить здесь закономерность: каждый следующий член ряда получается из предыдущего, умноженного на -2/3. В результате получаем геометрическую прогрессию с первым членом равным 1/3 и знаменателем равным -2/3.

Формула суммы геометрической прогрессии выглядит следующим образом: S = a / (1 - r), где a - первый член ряда, r - знаменатель прогрессии.

Применяя эту формулу к нашему ряду, получим: s = (1/3) / (1 - (-2/3)) = 1/3 / (1 + 2/3) = 1/3 / (5/3) = 1/5

Таким образом, сумма ряда s равна 1/5.

Демонстрация: Посчитайте сумму ряда: s = 1/3 - (3/3^2)(-2/3) + (5/3^3)(-2/3)^2

Совет: Чтобы понять и вычислить бесконечный ряд, часто полезным может быть использование формулы для суммы геометрической прогрессии. Это поможет свести бесконечное количество членов ряда к конечной сумме.

Задание для закрепления: Найдите сумму ряда s = 1/4 - (5/4^2)(-3/4) + (9/4^3)(-3/4)^2 - ... до бесконечности.