Найдите сумму коэффициентов b и c в уравнении параболы y=x^2+bx+c, при условии, что прямая y=9x-11 касается её в точке

Тема занятия: Решение задачи на коэффициенты параболы

Разъяснение: Чтобы найти сумму коэффициентов b и c в уравнении параболы y=x^2+bx+c, при условии, что прямая y=9x-11 касается её в точке с абсциссой а, мы можем использовать информацию о касательной.

Пусть точка касания параболы и прямой будет (а, b). Тогда в этой точке уравнения параболы и прямой должны иметь одинаковые значения y, а также одинаковые значения производных.

Подставим точку (а, b) в уравнение параболы:
b = а^2 + bа + c (уравнение 1)

Также, подставим точку (а, b) в уравнение прямой:
9а - 11 = b (уравнение 2)

Из уравнения 2 можно выразить b через а:
b = 9а - 11 (уравнение 3)

Подставим это значение b из уравнения 3 в уравнение 1:
9а - 11 = а^2 + (9а - 11)а + c

Распишем уравнение:
9а - 11 = а^2 + 9а^2 - 11а + c

Соберем все коэффициенты в одну сумму:
10а^2 - 20а + c - 9а + 11 = 0

Приведем подобные члены:
10а^2 - 29а + c + 11 = 0

Так как прямая касается параболы, то уравнение имеет единственное решение a. Значит, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю:
D = (-29)^2 - 4 * 10 * (c + 11) = 0

Раскроем скобки:
841 - 40c - 440 = 0

Сократим:
401 - 40c = 0

Выразим c:
c = 401 / 40

Таким образом, сумма коэффициентов b и c равна 9а - 11 + c = 9а - 11 + 401 / 40.

Например: Пусть а = 2, тогда сумма коэффициентов будет равна: 9 * 2 - 11 + 401 / 40 = 19.025.

Совет: Важно осознать использование информации о точке касания параболы и прямой для нахождения коэффициентов b и c. Обратите внимание на правильное подстановка и раскрытие скобок.

Закрепляющее упражнение: Найдите сумму коэффициентов b и c в уравнении параболы y = x^2 + 3x + 2 при условии, что прямая y = 4x - 7 касается её в точке с абсциссой 2.

Содержание вопроса: Касание прямой к параболе

Инструкция: При касании прямой к параболе в единственной точке, уравнение прямой должно быть совпадать с уравнением параболы в этой точке. Таким образом, чтобы найти сумму коэффициентов b и c в уравнении параболы y=x^2+bx+c, мы должны сопоставить два условия:

1. Уравнение параболы: y = x^2 + bx + c.
2. Уравнение касательной прямой: y = 9x - 11.

Чтобы найти точку касания, мы должны приравнять уравнения параболы и прямой и решить полученное уравнение. Выглядит это следующим образом:

x^2 + bx + c = 9x - 11.

Решим это уравнение с учетом условия касания только в одной точке. После решения уравнения мы получим значение абсциссы точки касания x, а затем мы сможем найти значение ординаты y, подставив x обратно в уравнение касательной прямой.

Пример:

Найдите сумму коэффициентов b и c в уравнении параболы y=x^2+bx+c, если прямая y=9x-11 касается ее в точке с абсциссой 2.

Совет: Если вы столкнулись с подобными задачами, всегда полезно приступать сравнению уравнения параболы с уравнением касательной прямой.

Упражнение: Найдите сумму коэффициентов b и c в уравнении параболы y=x^2+bx+c, если прямая y=2x-5 касается ее в точке с абсциссой 3.