Найдите решение уравнения 5sin^2x+7sinx−6=0. Каковы корни данного уравнения? А) x=π−arcsin0,6+2πn Б) arcsin(−2)+2πn

Содержание вопроса: Решение тригонометрических уравнений

Инструкция: Для решения данного тригонометрического уравнения 5sin^2x+7sinx−6=0, мы можем привести его к квадратному уравнению относительно sinx. Для этого заменим sin^2x с использованием тождества sin^2x = 1 - cos^2x. Получаем 5(1 - cos^2x) + 7sinx - 6 = 0. Приведем уравнение к квадратному виду: -5cos^2x + 7sinx + 5sinx - 6 = 0. Сократим подобные слагаемые: -5cos^2x + 12sinx - 6 = 0.

Теперь нам нужно решить получившееся квадратное уравнение по переменной sinx. Для этого воспользуемся стандартной формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = -5, b = 12, c = -6. Подставляя значения, получаем D = 12^2 - 4(-5)(-6) = 144 - 120 = 24.

Так как дискриминант D > 0, уравнение имеет два решения. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения x = (-b ± √D) / (2a), получаем два корня: x = (12 ± √24) / (-10).

Теперь упростим это выражение: x = (12 ± 2√6) / -10. Делаем дополнительное упрощение: x = -6/5 ± √6/5.

Таким образом, решением данного уравнения являются варианты А) x = π - arcsin(0.6) + 2πn, Б) x = arcsin(-2) + 2πn и В) x = π - arcsin(-2) + 2πn, где n - целое число.

Совет: Для решения тригонометрических уравнений всегда применяйте правила замены и тождества, чтобы привести уравнение к более простому или стандартному виду. Упрощение может помочь вам в решении сложных уравнений.

Практика: Найдите решение уравнения 2cos^2x - 3cosx = 0.

Тема занятия: Решение тригонометрического уравнения

Описание:

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно sin(x). Чтобы решить его, мы можем использовать замену t=sin(x). Подставим t в уравнение и приведем его к квадратному виду:

5t^2 + 7t - 6 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации, полного квадратного трехчлена или квадратного корня.

Факторизация:
(5t - 2)(t + 3) = 0.

Отсюда следует, что либо 5t - 2 = 0, либо t + 3 = 0.

Решим каждое уравнение по отдельности:

5t - 2 = 0: t = 2/5.

t + 3 = 0: t = -3.

Таким образом, мы нашли два значения t, которые соответствуют двум возможным значениям sin(x).

Теперь решим уравнение для x с использованием найденных значений t:

1) t = 2/5:
sin(x) = 2/5.
x = arcsin(2/5) + 2πn.

2) t = -3:
sin(x) = -3.
Это уравнение не имеет решений, так как значения синуса могут быть только в диапазоне [-1, 1].

Доп. материал:
Найдите решение уравнения 5sin^2x+7sinx−6=0.

Совет:
При решении тригонометрических уравнений, всегда проверяйте полученные значения, чтобы проверить их согласованность с ограничениями функции синуса.

Ещё задача:
Найдите решение уравнения 3cos^2(2x) - 2cos(2x) - 1 = 0.