Найдите производную функции сos3х в точке П/2. Найдите производную функции сos2х в точке П/4. Найдите производную

Тема: Производная функций

Объяснение:

Производная функции показывает, как быстро изменяется значение функции в зависимости от изменения ее аргумента. Для нахождения производной функции, мы используем правила дифференцирования, которые зависят от типа функции.

1) Найдем производную функции f(x) = cos(3x). Для этого применим правило дифференцирования функции сосinus: производная cos(x) равна -sin(x). Таким образом, производная функции f(x) = cos(3x) будет f'(x) = -3sin(3x). Для нахождения производной в точке П/2, подставим x = П/2 в полученное выражение: f'(П/2) = -3sin(3(П/2)) = -3sin(3П/2).

2) Найдем производную функции g(x) = cos(2x). Применим правило дифференцирования функции сосinus: производная cos(x) равна -sin(x). Таким образом, производная функции g(x) = cos(2x) будет g'(x) = -2sin(2x). Для нахождения производной в точке П/4, подставим x = П/4 в полученное выражение: g'(П/4) = -2sin(2(П/4)) = -2sin(П/2).

3) Найдем производную функции h(x) = (x-3)/(x-1). Для этого используем правила дифференцирования функций, содержащих дроби. Применим правило дифференцирования частного функций (u/v): производная (u/v)' равна (u'v - uv')/v^2, где u' и v' - производные от функций u и v соответственно. Производная функции h(x) будет h'(x) = [(1)(x-1) - (x-3)(1)]/(x-1)^2 = (x-1 - x + 3)/(x-1)^2 = 2/(x-1)^2. Для нахождения производной в точке Хо=2, подставим x = 2 в полученное выражение: h'(2) = 2/(2-1)^2 = 2.

Пример использования:
1) Производная функции f(x) = cos(3x) в точке П/2: f'(П/2) = -3sin(3П/2).
2) Производная функции g(x) = cos(2x) в точке П/4: g'(П/4) = -2sin(П/2).
3) Производная функции h(x) = (x-3)/(x-1) в точке Хо=2: h'(2) = 2.

Совет:
- При решении задач на нахождение производных, внимательно применяйте правила дифференцирования соответствующих функций.
- Помните, что точка, в которой требуется найти производную, может влиять на значения функции.

Упражнение:
Найдите производную функции y = sin(2x) в точке x = П/6.