Найдите корни следующего уравнения: Какие значения x удовлетворяют уравнению 2log24x=12log4x?

Суть вопроса: Решение уравнения с логарифмами

Описание: Для решения данного уравнения, мы используем свойства логарифмов. Первым шагом, мы применим свойство логарифма, согласно которому \( \log_{a}(b^n) = n\log_{a}b \). В данном уравнении, мы можем применить это свойство к обоим частям уравнения, чтобы перенести степень коэффициента перед логарифмом в аргумент самого логарифма. Получаем \( \log_{4}x^2 = 6\log_{4}x \).

Далее, мы можем применить другое свойство логарифма: \( \log_{a}b = \frac{{\log_{c}b}}{{\log_{c}a}} \) для перехода от одной базы логарифма к другой базе. В данном случае, мы можем использовать это свойство, чтобы перевести оба логарифма к общей базе, например 10 или e (натуральный логарифм).

Решение этого уравнения может быть довольно сложным, поэтому выведем шаги поэтапно:

1. Применим свойство логарифма и перенесем степень коэффициента перед логарифмом: \( \log_{4}x^2 = 6\log_{4}x \) становится \( \log_{4}x^2 = \log_{4}x^6 \).

2. Применим свойство логарифма и переведем оба логарифма к общей базе: \( \log_{4}x^2 = \log_{4}x^6 \) становится \( x^2 = x^6 \).

3. Поделим обе части уравнения на \( x^2 \): \( \frac{{x^2}}{{x^2}} = \frac{{x^6}}{{x^2}} \), что приводит к \( 1 = x^4 \).

4. Возведем обе части уравнения в четвертую степень: \( 1^4 = (x^4)^4 \), и получаем \( 1 = x^{16} \).

5. Поскольку любое число, возведенное в степень 0, равно 1, мы можем записать это как \( x^{16} = 1 \).

Теперь мы знаем, что \( x^{16} = 1 \), и мы можем найти все значения x, удовлетворяющие этому уравнению. В этом конкретном случае, корни уравнения являются:
x = 1, потому что \( 1^{16} = 1 \).

Совет: Для лучшего понимания, решения уравнений с логарифмами, рекомендуется изучить свойства логарифмов, такие как свойства мультипликации, деления и возведения в степень.

Проверочное упражнение: Найдите все значения x, удовлетворяющие уравнению \( \log_{3}x^3 = \log_{9}x \).

Предмет вопроса: Решение логарифмических уравнений

Описание: Данное уравнение 2log₂₄x=12log₄x является логарифмическим уравнением с двумя логарифмами. Для решения таких уравнений необходимо использовать свойства логарифмов и привести его к единому основанию.

Заметим, что логарифмы имеют одну и ту же переменную x, поэтому мы можем привести уравнение к одному основанию, например, к основанию 2, поскольку 4 = 2².

2log₂₄x = 12log₄x

Применим свойства логарифмов:

logₐ(bⁿ) = nlogₐ(b)

2log₂₂(2²x) = 12log₂(2x)

2 * 2²x = 12 * log₂(2x)

2 * 2²x = 12 * (log₂2 + log₂x)

2 * 2²x = 12 * (1 + log₂x)

4x = 12 + 12log₂x

Теперь представим x в виде 2 в степени y:

4 * 2ʸ = 12 + 12log₂(2ᵧ)

8ʸ = 12 + 12y

Теперь это квадратное уравнение относительно y. Решим его:

8ʸ - 12y = 12

Используя методы решения квадратных уравнений, мы найдем два значения y:

y₁ = 3/2

y₂ = -1

Затем найдем значения x, используя найденные значения y:

x₁ = 2^(3/2) = √8 ≈ 2,83

x₂ = 2^(-1) = 1/2 = 0,5

Таким образом, корни уравнения 2log₂₄x=12log₄x равны приблизительно x₁ ≈ 2,83 и x₂ = 0,5.

Совет: При решении логарифмических уравнений всегда старайтесь привести его к единому основанию, чтобы упростить дальнейшие вычисления.

Дополнительное упражнение: Решите логарифмическое уравнение 3log₅(x+2) + log₅(x-1) = 4log₅(x-2). Найдите все корни.