Найдите функцию F(x), у которой производная равна f(x)=5x^4-4x^3 и F(1)=4

Тема: Интегрирование функций

Пояснение: Интегрирование - это процесс нахождения функции, производной которой является заданная функция. Чтобы найти функцию F(x), у которой производная равна f(x)=5x^4-4x^3, мы будем использовать процесс обратный дифференцированию, который называется интегрирование.

Для интегрирования каждого члена функции f(x) мы используем правила интегрирования, которые мы изучали в школе. В данном случае нужно использовать правило степенной функции интеграла, которое гласит:
∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где C - произвольная константа.

Интегрируя каждый член f(x), мы получаем:
F(x) = ((5/5) * x^(5+1)) - ((4/4) * x^(3+1)) + C = x^5 - x^4 + C, где C - константа интегрирования.

Чтобы определить константу C, мы используем дополнительное условие F(1) = 4. Подставим x=1 в выражение для F(x):
4 = 1^5 - 1^4 + C
4 = 1 - 1 + C
4 = C

Таким образом, итоговая функция F(x) будет:
F(x) = x^5 - x^4 + 4

Демонстрация: Для нахождения функции F(x), у которой производная равна f(x)=5x^4-4x^3 и F(1)=4, используйте формулу F(x) = x^5 - x^4 + 4.

Совет: Чтобы лучше понять процесс интегрирования и правила интегрирования, рекомендуется практиковать решение различных интегралов и ознакомиться с различными методами интегрирования, такими как методы подстановки и интегрирование по частям.

Дополнительное упражнение: Найдите функцию F(x), у которой производная равна f(x) = 2x^3 - 7x^2 + 3x + 1 и F(0) = 5.