На указанном значении независимой переменной найдите значение производной заданной функции: f(x) = √x²+3

Тема вопроса: Производная функции с квадратным корнем

Разъяснение:

Для решения данной задачи требуется найти производную функции f(x) = √(x²+3) при заданном значении независимой переменной.

Для начала, обратимся к определению производной. Производная функции показывает, как быстро меняется значение функции по отношению к ее аргументу (независимой переменной).

При работе с функцией, содержащей квадратный корень, мы можем использовать правило дифференцирования функций составной формы.

Для нашей функции f(x) = √(x²+3) мы можем записать ее в виде f(x) = (x²+3)^(1/2).

Теперь мы можем использовать правило дифференцирования для функций вида g(x)^n, где g(x) - функция, а n - рациональное число:

(f(x))^" = (g(x)^n)" = n * g(x)^(n-1) * g"(x),

где g"(x) - производная функции g(x) по переменной x.

Применяя это правило к нашей функции f(x) = (x²+3)^(1/2), получаем:

f"(x) = (1/2) * (x²+3)^(-1/2) * (2x) = x / √(x²+3).

Таким образом, значение производной функции f(x) = √(x²+3) при заданном значении независимой переменной x равно x / √(x²+3).

Демонстрация:
Пусть нам дано значение x = 2. Чтобы найти значение производной функции f(x) = √(x²+3) при x = 2, мы подставляем значение x в формулу производной:
f"(2) = 2 / √(2²+3) = 2 / √(4+3) = 2 / √7.

Совет:
Для лучшего понимания правила дифференцирования функций со свойствами, такими как квадратный корень, рекомендуется изучить основные правила дифференцирования и законы алгебры функций. Также, для удобства решения задачи, не забывайте пользоваться калькулятором или программой для символьных вычислений.

Упражнение:
Найдите значение производной функции f(x) = √(2x²+5) при x = 3.