На каких интервалах график функции y = 6x - cos3x выпуклый вверх (вниз)?

Тема урока: Графики функций

Объяснение: Чтобы определить, на каких интервалах график функции y = 6x - cos3x выпуклый вверх или вниз, мы должны проанализировать ее вторую производную. Если вторая производная положительна, то график выпуклый вверх, а если отрицательна, то он выпуклый вниз.

Для начала вычислим первую производную функции y = 6x - cos3x:
y" = 6 - 3sin3x.

Затем найдем вторую производную, взяв производную от первой производной:
y"" = -9cos3x.

Теперь проанализируем знак второй производной на различных интервалах. Учитывая, что косинусная функция колеблется между -1 и 1, получим следующую таблицу:

Интервал | Знак y"" | Тип графика
-------------------|-------------|--------------
(-∞, ∞) | отриц. | выпуклый вниз
(-π/3, π/3) | полож. | выпуклый вверх
(π/3, 2π/3) | отриц. | выпуклый вниз
(2π/3, ∞) | полож. | выпуклый вверх

Таким образом, график функции y = 6x - cos3x выпуклый вверх на интервалах (-π/3, π/3) и (2π/3, ∞), и выпуклый вниз на интервалах (-∞, -π/3) и (π/3, 2π/3).

Совет: Чтобы лучше понять выпуклость графика функции, полезно изучить свойства производных и их влияние на форму графика. Также полезно визуализировать график с помощью графических приложений или программ для более ясного представления о его форме.

Задача для проверки: На каких интервалах график функции y = x^2 - 4x + 3 выпуклый вверх или вниз?

Содержание: Выпуклость графика функции

Описание: График функции выпуклый вверх (вниз), если вторая производная функции положительна (отрицательна) на данном интервале. Для определения выпуклости графика функции y = 6x - cos3x необходимо вычислить вторую производную функции и проанализировать ее знак.

1. Найдем первую производную функции y = 6x - cos3x:
y" = 6 - 3sin3x.

2. Теперь возьмем вторую производную:
y"" = -9cos3x.

3. Анализируем знак второй производной:
- Если y"" > 0, то график функции выпуклый вверх.
- Если y"" < 0, то график функции выпуклый вниз.

Подставляем y"" = -9cos3x в неравенство:
-9cos3x > 0,
cos3x < 0.

4. Решаем неравенство cos3x < 0:
3x ∈ (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk),
где k - любое целое число.

5. Получаем интервалы, на которых график функции y = 6x - cos3x выпуклый вверх (вниз):
x ∈ ((π/6 + 2πk)/3, (π/2 + 2πk)/3) U ((5π/6 + 2πk)/3, (3π/2 + 2πk)/3),
где k - любое целое число.

Демонстрация: Определите интервалы, на которых график функции y = 6x - cos3x выпуклый вверх или вниз.

Совет: Для понимания темы и упрощения решения задач, рекомендуется изучить принцип построения и характеристики графиков функций, а также основы дифференциального исчисления.

Дополнительное задание: Найдите интервалы, на которых график функции y = 4x^3 - 9x^2 выпуклый вверх или вниз.