Можете ли вы определить, является ли заданное бинарное отношение на множестве М={1,2,3,4} рефлексивным, симметричным

Предмет вопроса: Бинарные отношения

Разъяснение: Бинарное отношение на множестве М={1,2,3,4} - это совокупность упорядоченных пар элементов из множества М. В данной задаче представлено отношение R={(1,1), (1,2), (1,3), (2,3), (3,3), (4,1), (4,4)}.

1. Рефлексивность: Бинарное отношение является рефлексивным, если каждый элемент множества М находится в отношении сам с собой. В данном случае, все элементы множества М представлены в отношении R, поскольку каждая пара содержит элемент, равный самому себе. Таким образом, отношение R является рефлексивным.

2. Симметричность: Бинарное отношение является симметричным, если для любой пары (a, b) из отношения R, также присутствует пара (b, a). В данном случае, пары (1, 2) и (2, 3) присутствуют в отношении R, но пара (2, 1) отсутствует. Поэтому отношение R не является симметричным.

3. Антисимметричность: Бинарное отношение является антисимметричным, если для любой пары (a, b) из отношения R, при условии, что a ≠ b, пара (b, a) не присутствует в отношении R. В данном случае, пары (1, 2) и (2, 3) присутствуют в отношении R, но пары (2, 1) и (3, 2) отсутствуют. Таким образом, отношение R является антисимметричным.

4. Транзитивность: Бинарное отношение является транзитивным, если для каждой тройки (a, b), (b, c) из отношения R, также присутствует тройка (a, c). В данном случае, тройки (1, 2), (2, 3), (1, 3) и (3, 3) присутствуют в отношении R, что соответствует условию транзитивности. Таким образом, отношение R является транзитивным.

Область определения отношения R - это множество всех элементов, которые функция может принимать в качестве аргумента (первый элемент в каждой паре). В данном случае, область определения отношения R равна {1, 2, 3, 4}.

Область значений отношения R - это множество всех элементов, которые принимает функция (второй элемент в каждой паре). В данном случае, область значений отношения R равна {1, 2, 3}.

Обратное отношение R-1 - это отношение, полученное путем замены каждой пары (a, b) из отношения R на пару (b, a). В данном случае, обратное отношение R-1 будет равно {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (1, 4), (4, 4)}.

Пересечение отношений R и R-1 - это множество всех пар, которые одновременно принадлежат отношению R и отношению R-1. В данном случае, пересечение отношений R и R-1 будет равно {(1, 1), (3, 3)}.

Объединение отношений R и R-1 - это множество всех пар, которые принадлежат хотя бы одному из отношений R или R-1. В данном случае, объединение отношений R и R-1 будет равно {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)}.

Совет: Для понимания бинарных отношений полезно визуализировать их на диаграммах, используя стрелки или графы.

Закрепляющее упражнение: Проверьте, является ли отношение R на множестве М рефлексивным, симметричным, антисимметричным и транзитивным.