Может ли число 2018 быть одним из 1001 различных натуральных чисел на доске, если известно, что сумма любых трех

Тема занятия: Суммы натуральных чисел на доске

Разъяснение:
Для решения данной задачи нам нужно выяснить, может ли число 2018 быть одним из 1001 различных натуральных чисел на доске, при условии, что сумма любых трех из них (но различных) больше суммы любых двух (также различных).

Предположим, что число 2018 присутствует на доске. В таком случае, мы можем выбрать еще два числа с доски и образовать из них сумму, которая будет больше суммы двух чисел, включая 2018.

Теперь подумаем, какие еще числа могут быть на доске. Если мы возьмем два числа, находящихся на доске, и положим наибольшее из них равным a, а наименьшее - b, то мы должны выбрать третье число, которое будет больше a + b. Таким образом, третье число должно быть больше, чем наибольшее из двух чисел на доске.

Но если число 2018 является одним из 1001 различных чисел на доске, то существует число, которое больше 2018. Учитывая, что наши допущения верны, число, большее 2018, будет одним из трех, а значит, существует сумма трех чисел, которая будет превосходить сумму двух других чисел.

Следовательно, число 2018 не может быть одним из 1001 различных натуральных чисел на доске при данных условиях.

Пример:
Задача: Может ли число 2022 быть одним из 1001 различных натуральных чисел на доске, если известно, что сумма любых трех из них (но различных) больше суммы любых двух (также различных)?

Совет:
Чтобы лучше понять данную задачу, рассмотрите пример с несколькими числами на доске и постарайтесь найти общий закон, определяющий суммы этих чисел.

Задание для закрепления:
Представьте, что на доске есть числа 1, 2, 3, 4, 5 и так далее до 1001. Вычислите сумму трех произвольных чисел на доске и сравните ее с суммой двух других чисел.