Круглая площадь окружена 40 березами. Какое количество берез можно вырубить так, чтобы из них не было никаких двух

Задача: Круглая площадь окружена 40 березами. Какое количество берез можно вырубить так, чтобы из них не было никаких двух, стоящих рядом, при условии, что нужно вырубить 14 берез?

Пояснение: Для решения данной задачи необходимо применить комбинаторику и принципы алгоритма дополнений. Пусть Х будет номером березы, которую нужно вырубить, а У - номером березы, которую оставляем. Для того, чтобы из 40 берез не было никаких двух, стоящих рядом, нужно, чтобы каждая вырубленная берёза Х следовала за оставленной березой У.

Используем алгоритм дополнений. Перед каждой оставленной березой У ставим вырубленную березу Х. Тогда получим комбинацию "ХУХУХУХ...". Для 40 берез будет 80 мест, среди которых мы должны выбрать 14 мест для вырубленных берез. Количество способов выбрать 14 мест из 80 равно:
C(80, 14) = (80!)/(14!*(80-14)!) = 10 915 598.

Таким образом, количество вариантов вырубить 14 берез из 40, чтобы никакие две березы не стояли рядом, составляет 10 915 598.

Совет: Для лучшего понимания задачи и применяемых принципов комбинаторики, можно нарисовать круглую площадь и обозначить каждую березу номерами. Затем, перебрав возможные варианты вырубления берез, постепенно составить комбинации и посчитать количество различных вариантов.

Задача на проверку: Предположим, у вас есть 60 берез, и вы хотите вырубить 16 берез так, чтобы не было никаких двух, стоящих рядом. Сколько существует возможных вариантов для этого?

Тема урока: Расстановка берез

Пояснение: Для решения данной задачи рассмотрим различные варианты расстановки берез.

Общая идея состоит в том, чтобы вычислить максимально возможное количество берез, которые можно вырубить, не оставив рядом две березы.

Предположим, что количество берез, которые можно вырубить, равно N. Из условия задачи известно, что N = 14.

Расставим березы вокруг круглой площади. Поскольку не может быть двух смежных берез, на каждом шаге при добавлении новой березы нам необходимо оставить пропуск (пустое место) между уже расставленными березами.

Чтобы найти самую большую расстановку берез, мы будем строить комбинации из пропусков и берез в вершинах круга. Если есть общее правило для определения количества пропусков, то итоговое количество берез будет равно разности общего количества пропусков и берез, которые мы хотим вырубить (в данном случае 14).

У нас есть следующая формула: 40 - N + 1 = 27, где 40 - N - количество пропусков, а 1 - количество берез в вершинах шестиугольника (так как они уже считаются).

Итак, для данной задачи мы можем вырубить 27 берез.

Пример: Сколько берез можно вырубить, если изначально имеется 15 деревьев и они расставлены по кругу?

Совет: Для лучшего понимания принципа расстановки берез, рекомендуется нарисовать диаграмму, где можно пошагово добавлять березы и пропуски.

Дополнительное упражнение: Круглая площадь окружена 30 соснами. Сколько сосен можно вырубить так, чтобы из них не было никаких двух, стоящих рядом, при условии, что нужно вырубить 8 сосен? (Ответ: 21)