Когда строительство офисного помещения было завершено, осталось некоторое количество квадратных плиток. Рабочие решили

Задача: Когда строительство офисного помещения было завершено, осталось некоторое количество квадратных плиток. Рабочие решили сделать прямоугольную площадку рядом со зданием. Они заметили, что если выложить по 6 плиток в ряд, то на последний ряд плиток не хватит. А если выложить по 7 плиток в ряд, то можно получить столько же полных рядов, однако в последнем ряду будет на 4 плитки меньше, чем при укладке по 6. В итоге рабочие решили выложить по 8 плиток в ряд, но всё равно остались некоторые лишние плитки. Сколько изначально было плиток, если известно, что этого количества было достаточно, чтобы полностью выложить площадку?

Решение: Пусть х - количество плиток изначально.

Если выложить по 6 плиток в ряд, последний ряд будет неполным. Значит, x не делится на 6 без остатка.

Если выложить по 7 плиток в ряд, число полных рядов будет таким же, как при укладке по 6 плиток, но в последнем ряду будет на 4 плитки меньше. Это означает, что (x - 4) должно быть кратным 7.

Из данных условий можем составить систему уравнений:
x = 6a + 5
x - 4 = 7b

Где a и b - некоторые положительные целые числа.

Решая данную систему уравнений, получим:
6a + 5 - 4 = 7b
6a + 1 = 7b
a = (7b - 1)/6

Зная, что а - положительное целое число, проверим значения b:
Подставляем b = 1 -> a = 1
Подставляем b = 2 -> a = 3/2 (не целое)
Подставляем b = 3 -> a = 4
Подставляем b = 4 -> a = 6
...

Таким образом, для целочисленных a и b получаем комбинацию:
a = 1, b = 1 -> x = 6 * 1 + 5 = 11
a = 4, b = 3 -> x = 6 * 4 + 5 = 29
a = 7, b = 5 -> x = 6 * 7 + 5 = 47
...

Так как в задаче сказано, что исходное количество плиток было достаточно для составления площадки, выбираем наименьшее положительное целое значение x:
x = 11

Итак, изначально было 11 плиток.

Ещё задача: Представьте, что вы являетесь строителем и у вас есть 40 плиток. Вы должны взять определенное количество плиток и выложить их в ряды по 6, 7 и 8 плиток в каждом. Сколько плиток останется у вас после этого? (Ответ дайте в форме суммы трех слагаемых: количество плиток по 6 в ряд, по 7 в ряд и по 8 в ряд).