Какую сумму трех неотрицательных чисел можно составить из числа 18 так, чтобы два из них соотносились как 8: 3, и сумма

Содержание: Сумма трех чисел, удовлетворяющих определенным условиям

Пояснение: Чтобы найти сумму трех неотрицательных чисел, удовлетворяющих заданным условиям, мы должны разделить число 18 на два отношения 8:3, таким образом, что их сумма кубов была минимальной. Давайте решим эту задачу шаг за шагом:

1. Предположим, что первое из трех чисел равно 8x, где x - множитель.
2. Второе число будет составлять 3x, так как соотношение между двумя числами равно 8:3.
3. Третье число равно 18 - (8x + 3x), или 18 - 11x, так как сумма трех чисел должна быть равна 18.

Теперь наша задача - минимизировать сумму кубов этих трех чисел.

4. Выражение для суммы кубов трех чисел будет выглядеть следующим образом: (8x)³ + (3x)³ + (18 - 11x)³.
5. Раскроем скобки и упростим выражение:
- (8x)³ = 512x³
- (3x)³ = 27x³
- (18 - 11x)³ = (18 - 11x) * (18 - 11x) * (18 - 11x)

Обратите внимание, что (18 - 11x) * (18 - 11x) * (18 - 11x) = (18 - 11x)² * (18 - 11x) = (324 - 396x + 121x²) * (18 - 11x) = -1331x³ + 1782x² - 648x + 324.

6. Теперь сложим все выражения: 512x³ + 27x³ - 1331x³ + 1782x² - 648x + 324.
7. Объединим подобные члены: -792x³ + 1782x² - 648x + 324.
8. Найдем минимум выражения, взяв производную и приравняв ее к нулю:
- Производная выражения равна: -2376x² + 3564x - 648.
- Решим уравнение -2376x² + 3564x - 648 = 0.
- В итоге получаем два значения x: x₁ = 0.4 и x₂ = 1.2.
9. Проверим значения:
- При x₁ = 0.4 сумма кубов равна 396.
- При x₂ = 1.2 сумма кубов равна 432.

Совет: Чтобы лучше понять эту задачу, рекомендуется изучить тему о поиске условного экстремума функции с использованием производной. Также полезно более подробно понять понятие минимизации суммы кубов чисел.

Практика: Сформулируйте и решите аналогичную задачу, где требуется найти сумму трех неотрицательных чисел из числа 30, так чтобы два из них соотносились как 5:2, и сумма кубов этих чисел была максимальной.