Какую антипроизводную проходят через точку м для следующих функций: а) f(x) = 4x^3 - 10x -9, m(3; 15); б) f(x

Тема вопроса: Антипроизводные

Инструкция: Антипроизводная функции является обратным процессом к нахождению производной функции. Она позволяет определить исходную функцию по её производной.

а) f(x) = 4x^3 - 10x - 9, m(3; 15):
Для нахождения антипроизводной данной функции, мы должны искать новую функцию, производная которой равна f(x).
Интегрирование (нахождение антипроизводной) производится путем добавления постоянного слагаемого, называемого постоянной интегрирования.
Процесс антипроизводной для данной функции выглядит следующим образом:

F(x) = ∫(4x^3 - 10x - 9) dx
= x^4 - 5x^2 - 9x + C

Чтобы найти значение C (константу интегрирования), мы используем информацию о точке m, заданной в задаче. Подставляем значение аргумента и функции, затем находим C:

15 = 3^4 - 5(3)^2 - 9(3) + C
C = 15 - 81 + 45 - 9
C = -30

Таким образом, антипроизводная функции f(x) равна F(x) = x^4 - 5x^2 - 9x - 30.

б) f(x) = 6/cos^2x, m(π/4):
Аналогично предыдущей задаче, мы ищем антипроизводную функции f(x) для определения исходной функции.

F(x) = ∫(6/cos^2x) dx
= ∫(6sec^2x) dx
= ∫(6(1 + tan^2x)) dx
= 6x + 6tanx + C

Для определения константы C, мы используем информацию о точке m:

m = π/4
F(π/4) = 6(π/4) + 6tan(π/4) + C
F(π/4) = 3π/2 + 6 + C

Таким образом, антипроизводная функции f(x) равна F(x) = 6x + 6tanx + (3π/2 + 6).

Совет: При решении задач на антипроизводные не забывайте добавлять константу интегрирования, так как антипроизводная функции определена с точностью до этой константы. Также, чтобы лучше понять процесс антипроизводной, рекомендуется изучить правила интегрирования и связь между производной и антипроизводной функций.

Практика: Найдите антипроизводную функции f(x) = 7x^2 + 9x - 5 и определите значение константы интегрирования, если f(1) = 3.