Какой угол образуют прямые АВ и CD, если известны координаты точек А(1; 1; 5), С(8; 5; 5), В(4; 7; 5), D(5;-1;5)?

Суть вопроса: Геометрия и углы прямых

Пояснение: Чтобы найти угол между прямыми АВ и CD по известным координатам точек, мы можем воспользоваться векторным подходом.

Сначала найдем направляющие векторы прямых АВ и CD. Направляющий вектор прямой можно найти как разность координат двух произвольных точек прямой.

Для прямой АВ направляющий вектор можно найти как В - А:
AB = (4; 7; 5) - (1; 1; 5) = (3; 6; 0)

Для прямой CD направляющий вектор можно найти как D - C:
CD = (5;-1;5) - (8; 5; 5) = (-3; -6; 0)

Затем, найдем скалярное произведение этих двух векторов с помощью формулы:
AB * CD = |AB| * |CD| * cos(θ)

Где |AB| и |CD| - длины векторов AB и CD соответственно, а θ - угол между прямыми.

Длина вектора AB: |AB| = √(3^2 + 6^2 + 0^2) = √45 = 3√5
Длина вектора CD: |CD| = √((-3)^2 + (-6)^2 + 0^2) = √45 = 3√5

Подставим найденные значения в формулу:
3√5 * 3√5 * cos(θ) = (3√5)^2 * cos(θ) = 45cos(θ)

Теперь, найдем cos(θ) с помощью скалярного произведения векторов:
AB * CD = (3 * -3) + (6 * -6) + (0 * 0) = -9 - 36 + 0 = -45

Подставим полученное значение в формулу:
45cos(θ) = -45
cos(θ) = -1

Из тригонометрической таблицы мы знаем, что cosinus -1 при угле 180 градусов или π радиан.

Таким образом, угол между прямыми АВ и CD составляет 180 градусов.

Например: Найти угол между прямыми, заданными координатами точек А(1; 1; 5), С(8; 5; 5), В(4; 7; 5), D(5;-1;5).


Совет: Для лучшего понимания этой темы, важно освоить векторный подход в геометрии. Помните, что направляющий вектор прямой - это разность координат двух произвольных точек этой прямой. Также, подводящей прямой между двумя прямыми является прямая, параллельная одной из прямых и проходящая через другую. Используйте формулы и таблицы тригонометрии для упрощения вычислений и нахождения углов.


Задача на проверку: Найдите угол между прямыми, заданными координатами точек A(1; 2; 3), С(4; 5; 6), В(7; 8; 9), D(10; 11; 12).