Какой объём производства обеспечит максимальную прибыль фирмы, если её прибыль зависит от объёма производства

Содержание: Максимизация прибыли

Инструкция: Для решения этой задачи мы будем использовать понятие максимизации функции. Функция прибыли данной фирмы определена как y=-x³+21x² - 72x-150, где x - объем производства.

Чтобы найти объем производства, который обеспечит максимальную прибыль, нам нужно найти максимальное значение функции прибыли. Для этого мы можем использовать методы дифференциального исчисления. Сначала найдем производную функции прибыли, а затем приравняем ее к нулю для поиска точек экстремума.

Производная функции прибыли: y" = -3x² + 42x - 72.

Приравняем производную к нулю: -3x² + 42x - 72 = 0.

Решив это квадратное уравнение, мы найдем две точки x1 и x2 (возможно совпадающие), где функция прибыли достигает экстремальных значений. Выберем только те значения, которые находятся в пределах разумности для объема производства.

Затем мы подставим значения x1 и x2 в функцию прибыли, чтобы найти значения y1 и y2 соответственно. Большее значение из y1 и y2 будет являться максимальной прибылью фирмы.

Таким образом, мы можем найти объем производства, который обеспечит максимальную прибыль фирмы.

Доп. материал: Для решения этой задачи нам потребуется решить квадратное уравнение -3x² + 42x - 72 = 0 и найти его корни x1 и x2. Затем мы подставим найденные значения в функцию прибыли y=-x³+21x² - 72x-150, чтобы найти соответствующие значения прибыли y1 и y2. Получив эти значения, мы выберем большее значение из y1 и y2, которое будет являться максимальной прибылью фирмы.

Совет: Если вы сталкиваетесь с задачами по максимизации или минимизации функций, важно помнить, что экстремальные значения достигаются, когда производная функции равна нулю или не существует. Также убедитесь, что проверяете все точки экстремума для определения, является ли они максимальными или минимальными значениями.

Задание для закрепления: Найдите максимальный объем производства и соответствующую максимальную прибыль для функции y=-2x³ + 6x² - 4x - 9.