а) Знайти координати, довжину, напрямні косинуси та орт вектора, що йде від точки М1(-5,17,21) до точки М2(2,3,0

Предмет вопроса: Вектори в трехмерном пространстве

Инструкция:
а) Для нахождения координат вектора, идущего от точки М1 до точки М2, мы используем формулу для нахождения вектора:

вектор AB = координаты точки B - координаты точки A

Таким образом, вектор AB = (2, 3, 0) - (-5, 17, 21) = (7, -14, -21)

Длина вектора AB вычисляется по формуле:
|AB| = √(x^2 + y^2 + z^2) = √(7^2 + (-14)^2 + (-21)^2) = √(49 + 196 + 441) = √(686) ≈ 26.19

Направляющие косинусы вектора AB можно найти, используя формулу:
cosα = x/|AB|, cosβ = y/|AB|, cosγ = z/|AB|

cosα = 7/26.19 ≈ 0.267, cosβ = -14/26.19 ≈ -0.534, cosγ = -21/26.19 ≈ -0.802

Орт вектора AB - это вектор, направление которого совпадает с направлением вектора AB, а его длина равна 1. Его координаты можно найти, разделив координаты вектора AB на длину вектора AB:
орт вектора AB = (7/|AB|, -14/|AB|, -21/|AB|)

б) Чтобы найти координаты точки M при заданном отношении м:n, мы используем формулу для нахождения внутренней точки отрезка:

координаты точки M = (m * координаты точки М2 + n * координаты точки М1) / (m + n)

в) Чтобы найти координаты точки M3, используя отношение, данное условием, мы можем использовать такую же формулу, как в предыдущем пункте:

координаты точки M3 = (числитель * координаты точки М2 + знаменатель * координаты точки М1) / (числитель + знаменатель)

Доп. материал:

а) Координаты вектора AB = (2, 3, 0) - (-5, 17, 21) = (7, -14, -21)
Длина вектора AB ≈ 26.19
Направляющие косинусы вектора AB: cosα ≈ 0.267, cosβ ≈ -0.534, cosγ ≈ -0.802
Орт вектора AB ≈ (7/26.19, -14/26.19, -21/26.19)

б) Координаты точки M при отношении m:n = 4:3
координаты точки M = (4 * (2, 3, 0) + 3 * (-5, 17, 21)) / (4 + 3)

в) Координаты точки M3 при отношении М1М3 : М1М2 = m : n
координаты точки M3 = ((числитель) * (2, 3, 0) + (знаменатель) * (-5, 17, 21)) / ((числитель) + (знаменатель))

Совет:
Для лучшего понимания векторов в трехмерном пространстве, рекомендуется представлять их как направленные отрезки, начинающиеся от начала координат и заканчивающиеся в соответствующих точках. Это поможет визуализировать их направление и длину. Также полезно ознакомиться с правилами сложения и вычитания векторов и формулами для нахождения длины и направляющих косинусов вектора.

Упражнение:
Найдите координаты, длину и направляющие косинусы вектора, идущего от точки A(-1, 5, 3) до точки B(4, -2, 7).