Какой наименьший корень уравнения lg(x-2)tgx=tgx, удовлетворяющий неравенству х^2-10x-24

Название: Решение уравнения и неравенства

Пояснение:

Для начала решим уравнение `lg(x-2)tgx = tgx`. Здесь `lg` обозначает логарифм по основанию 10, а `tg` обозначает тангенс.
Решим уравнение:

1. Разделим обе части уравнения на `tgx`:
`lg(x-2) = 1`

2. Используя определение логарифма, получим:
`10^1 = x-2`
`x-2 = 10`
`x = 10 + 2 = 12`

Теперь решим неравенство `x^2 - 10x - 24 < 0`:

1. Факторизуем левую часть неравенства:
`(x-12)(x+2) < 0`

2. Используя метод интервалов знакопостоянства, строим таблицу знаков:

   -2  |  +  |  -   

   -----------------

   12  |  -  |  +   

   

Видим, что неравенство выполняется на интервале `x < -2` и `12 < x`.

3. Найдём пересечение с найденным корнем и придерживаемся неравенству:
`-2 < x < 12`

Итак, наименьшее значение корня `x`, которое удовлетворяет исходному уравнению и неравенству, равно `x = 12`.

Пример использования:

Вычислим минимальный корень уравнения `lg(x-2)tgx=tgx` и найдём интервал значений `x`, которые удовлетворяют неравенству `x^2 - 10x - 24 < 0`.

Указания:

- Обратите внимание на детали в вычислениях, чтобы избежать ошибок.
- Проверьте свои ответы с помощью графика или использования калькулятора.

Упражнение:

Решите уравнение `sin(2x) = cos(x)` и найдите все значения `x`, удовлетворяющие неравенству `x > 0`.