Какой базис можно найти для линейного пространства решений данной системы уравнений? Какова размерность этого линейного

Название: Линейное пространство решений системы уравнений

Пояснение: Для нахождения базиса линейного пространства решений данной системы уравнений, сначала необходимо решить саму систему уравнений. Результатом решения будет набор параметрических уравнений, которые задают все решения этой системы.

Затем, чтобы найти базис, нужно выразить эти параметры через независимые переменные. Каждое независимое решение будет соответствовать одному базисному вектору. Если система имеет n независимых переменных, то в линейном пространстве решений будет n базисных векторов.

Размерность линейного пространства решений равна количеству независимых переменных в системе уравнений.

Пример:
Задана система уравнений:

2x + 3y - 4z = 7

3x - 2y + 5z = 2

x + y + 2z = 1

После решения данной системы уравнений, получаем параметрические решения:

 

x = 2z - 3

y = -5z + 6

Выражаем параметры через независимую переменную z, получаем базисные векторы:

{ (2, -5, 1) }

Размерность линейного пространства решений равна 1, так как у системы уравнений есть только одна независимая переменная.

Совет: Для понимания базиса линейного пространства решений системы уравнений, рекомендуется усвоить ключевые понятия линейной алгебры, такие как линейная независимость, линейная оболочка, размерность пространства. Также полезно упражняться в решении практических задач, чтобы закрепить полученные знания.

Закрепляющее упражнение: Найдите базис и размерность линейного пространства решений системы уравнений:

x + y + z = 0

2x - y + 3z = 5

4x - 3y + 6z = 10