Отношение иметь один и тот же остаток при делении на 3 на множестве х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
Каковы особенности и свойства отношения иметь один и тот же остаток при делении на 3 на множестве
Каковы особенности и свойства отношения "иметь один и тот же остаток при делении на 3" на множестве х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)? Докажите, что это отношение является отношением эквивалентности, и перечислите все классы эквивалентности, на которые можно разделить множество х. Сколько классов эквивалентности существует?
16.11.2023 18:31
Написать свой ответ:
Объяснение:
Отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3" на множестве х можно представить следующим образом: каждое число в множестве х разделяется на 3, и отношение определяется по остатку от деления на 3.
Чтобы доказать, что это отношение является отношением эквивалентности, нужно проверить 3 свойства: рефлексивность, симметричность и транзитивность.
1. Рефлексивность: каждое число из множества х может быть разделено на 3, и остаток от деления будет само число. Таким образом, каждое число имеет тот же остаток при делении на 3, что и само себя.
2. Симметричность: если два числа имеют один и тот же остаток при делении на 3, то их можно представить в виде 3k и 3k+1, где k - целое число. Таким образом, симметрия выполняется.
3. Транзитивность: если число A имеет один и тот же остаток при делении на 3, что и число B, и число B имеет тот же остаток, что и число C, то число A также имеет тот же остаток, что и число C. Таким образом, транзитивность выполняется.
Таким образом, отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3" является отношением эквивалентности на множестве х.
Классы эквивалентности определяются по остаткам от деления на 3. В данном случае, возможны следующие классы эквивалентности:
- {1, 4, 7, 10} - числа, дающие остаток 1 при делении на 3.
- {2, 5, 8} - числа, дающие остаток 2 при делении на 3.
- {3, 6, 9} - числа, дающие остаток 0 при делении на 3.
Всего существует 3 класса эквивалентности на множестве х.
Совет: Для лучшего понимания отношений эквивалентности в математике рекомендуется изучить элементарную теорию множеств и основные понятия в алгебре, такие как остатки от деления и модульная арифметика.
Дополнительное задание: Какой класс эквивалентности будет содержать число 5, если рассмотреть отношение "иметь один и тот же остаток при делении на 3" на множестве х=(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)? (Ответ: {2, 5, 8})