Каковы координаты точки, в которой функция y=ln{(x+7)^3} + ln{7^3} - x - 7 достигает максимума?

Тема: Функции и экстремумы

Объяснение: Чтобы найти координаты точки, в которой функция достигает максимума, мы должны применить методы дифференциального исчисления. Для начала, найдем производную функции y по x.

Имея функцию y = ln((x+7)^3) + ln(7^3) - x - 7, возьмем производную от каждого слагаемого.

Производная от ln((x+7)^3) равна (3/(x+7)) * (x+7)^2.

Производная от ln(7^3) равна 0, так как константу можно считать аргументом 1, а производная от ln(1) равна 0.

Производная от -x равна -1.

Производная от -7 равна 0, так как константа.

Теперь, чтобы найти точку, в которой функция достигает максимума, нужно найти такое значение x, для которого производная равна 0 или неопределена.

Из производной равной нулю получаем условие (3/(x+7)) * (x+7)^2 - 1 = 0.

Теперь решим это уравнение:

(3/(x+7)) * (x+7)^2 - 1 = 0.

3 * (x+7)^2 - (x+7) = 0.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

3x^2 + 42x + 147 - x -7 = 0.

3x^2 + 41x + 140 = 0.

Решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

D = 41^2 - 4 * 3 * 140.

D = 1681 - 1680.

D = 1.

Так как дискриминант положителен, у нас есть два корня:

x1 = (-41 + √1) / (2 * 3) = -40 / 6 = -20 / 3.

x2 = (-41 - √1) / (2 * 3) = -42 / 6 = -7.

Теперь найдем соответствующие значения y:

y1 = ln((-20 / 3 + 7)^3) + ln(7^3) - (-20 / 3) - 7 = ln(1/27) + ln(343) + 20/3 - 7.

y2 = ln((-7 + 7)^3) + ln(7^3) - (-7) - 7 = ln(0) + ln(343) + 7 - 7 = -∞ + 7 - 7 = -∞.

Таким образом, функция достигает своего максимума в точке (−20/3, y1).

Совет: Для понимания этого типа задачи рекомендуется знать основы дифференциального исчисления. Важно уметь вычислять производные и решать квадратные уравнения.

Упражнение: Найдите координаты точки, в которой функция y = x^3 - 6x^2 - 15x + 10 достигает минимума.