Каковы экстремумы и интервалы возрастания и убывания данной функции f(x)=x^3-5/2x^2-22x+1?

Содержание: Анализ функций

Разъяснение: Для нахождения экстремумов и интервалов возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 5/2x^2 - 22x + 1, следует выполнить несколько шагов:

1. Найдите производную функции f(x). Для этого возьмите производную каждого слагаемого функции по отдельности, используя соответствующие правила дифференцирования. Получим f"(x) = 3x^2 - 5x - 22.

2. Решите уравнение f"(x) = 0, чтобы найти точки, в которых производная функции равна нулю. Для этого положите f"(x) равной нулю и решите полученное квадратное уравнение. В нашем случае получаем уравнение 3x^2 - 5x - 22 = 0.

3. Решите уравнение из предыдущего шага, чтобы найти значения x, в которых производная равна нулю. Мы получим два корня: x1 ≈ -1.46 и x2 ≈ 5.79.

4. Определите знак производной в промежутках между найденными корнями и за пределами этих корней. Для этого можно выбрать произвольную точку внутри каждого интервала и подставить ее в f"(x) или построить знак-таблицу. Знаки производной позволят определить интервалы возрастания и убывания функции.

5. Для определения экстремумов проверьте знаки функции f(x) в найденных корнях и в концах области определения. Локальные экстремумы будут соответствовать точкам, в которых функция меняет свой знак с плюса на минус (максимум) или с минуса на плюс (минимум).

Демонстрация:
1. Найдите экстремумы и интервалы возрастания и убывания функции f(x)= x^3 - 5/2x^2 - 22x + 1.
2. Определите, на каких отрезках функция возрастает и на каких убывает.

Совет: Внимательно проверьте все шаги дифференцирования и решения уравнений, чтобы исключить возможные ошибки при нахождении экстремумов и интервалов возрастания и убывания.

Проверочное упражнение: Найдите экстремумы и интервалы возрастания и убывания функции g(x) = 2x^4 - 9x^3 + 12x^2 - 7x + 2.

Суть вопроса: Анализ функций

Инструкция:
Для определения экстремумов и интервалов возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - (5/2)x^2 - 22x + 1, мы можем применить процедуру производной функции.

1. Шаг 1: Найдем производную функции f(x) по переменной x. Для этого возьмем каждый член функции и возьмем его производную по x:
f"(x) = 3x^2 - 5x - 22

2. Шаг 2: Чтобы найти критические точки функции (то есть точки, в которых производная равна нулю или неопределена), мы приравниваем производную f"(x) к нулю и решаем уравнение:
3x^2 - 5x - 22 = 0

Можно решить это уравнение, применяя формулу дискриминанта или метод факторизации. Получим корни x = 4 и x = -1.17 (округленно).

3. Шаг 3: Теперь нам нужно проверить значения производной f"(x) на интервалах между и вокруг критических точек.

Для x < -1.17, производная будет отрицательной, что означает, что функция убывает.

Для -1.17 < x < 4, производная будет положительной, что означает, что функция возрастает.

Для x > 4, производная снова становится отрицательной, что означает, что функция убывает.

4. Шаг 4: Теперь мы можем найти точки экстремума функции. Экстремумы возникают в критических точках, поэтому у нас есть точки x = -1.17 и x = 4.

Чтобы найти соответствующие значения y или f(x)-кординаты (значение функции в этих точках), мы подставим x в исходную функцию:
f(-1.17) ≈ 59.94 и f(4) = -29.

Таким образом, у нас есть точки экстремума (-1.17, 59.94) и (4, -29).

5. Шаг 5: Интервалы возрастания и убывания.
- Для x < -1.17, функция убывает.
- Для -1.17 < x < 4, функция возрастает.
- Для x > 4, функция снова убывает.

Например:
Мы нашли, что функция f(x) = x^3 - (5/2)x^2 - 22x + 1 имеет экстремумы в точках (-1.17, 59.94) и (4, -29). Она возрастает на интервале от -1.17 до 4 и убывает на интервалах x < -1.17 и x > 4.

Совет:
При анализе функций всегда полезно нарисовать график функции, чтобы лучше визуализировать экстремумы и интервалы возрастания и убывания. Это поможет вам лучше понять поведение функции и проиллюстрировать результаты вашего анализа.

Проверочное упражнение:
Найдите экстремумы и интервалы возрастания и убывания для функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5.