Каково значение третьей производной функции у=xlnx в точке х0 = 2 с точностью до 0,01?

Предмет вопроса: Производные функций

Разъяснение: Чтобы найти третью производную функции у=xlnx в точке x₀ = 2, мы должны применить процесс дифференцирования три раза. Для этого нам понадобятся правила дифференцирования элементарных функций.

1. Начнем с первой производной функции. Для нашей функции, используем правило производной произведения функций (производная произведения равна сумме произведений производных):

у" = (1)(lnx) + (x)(1/x) = lnx + 1.

2. Далее найдем вторую производную. Производная логарифма lnx равна 1/x, производная константы 1 равна 0. То есть:

у"" = (1/x) + 0 = 1/x.

3. И, наконец, находим третью производную. Производная 1/x равна -1/x²:

у""" = -1/x².

Теперь, чтобы найти значение третьей производной в точке х₀ = 2, подставим данное значение в у""":

у"""(2) = -1/(2²) = -1/4 = -0,25.

Итак, значение третьей производной функции у=xlnx в точке х₀ = 2 равно -0,25 с точностью до 0,01.

Совет: Чтобы лучше понять производные функций, полезно изучать правила дифференцирования элементарных функций и тренироваться на решении различных задач, чтобы стать более уверенным в применении этих правил.

Задание: Найдите первую и вторую производные функции у = cos(x) в точке х₀ = π/2.

Тема: Значение третьей производной функции у=xlnx в точке х0 = 2.

Инструкция: Для решения этой задачи, нам необходимо взять третью производную функции y=xlnx и найти ее значение в точке x0 = 2 с точностью до 0,01.

Для нахождения производной функции y=xlnx, мы будем использовать правило производной произведения функций (производная произведения), так как функция у=xlnx является произведением функций x и lnx.

Для нахождения первой производной функции y=xlnx, мы применяем правило производной произведения:

dy/dx = x * (d/dx)lnx + lnx * (d/dx)x

Вторая производная функции y=xlnx определяется как производная первой производной:

d^2y/dx^2 = (d/dx)(x * (d/dx)lnx + lnx * (d/dx)x)

Третья производная функции y=xlnx определяется как производная второй производной:

d^3y/dx^3 = (d/dx)^2(x * (d/dx)lnx + lnx * (d/dx)x)

Мы можем вычислить каждую производную по очереди, используя правила дифференцирования.

Пример: Для нахождения значения третьей производной функции у=xlnx в точке х0 = 2 с точностью до 0,01, следуем следующим шагам:

1. Находим первую производную функции y=xlnx:

dy/dx = x * (1/x) + lnx * 1 = 1 + lnx

2. Находим вторую производную функции y=xlnx:

d^2y/dx^2 = (d/dx)(1 + lnx) = 0 + 1/x = 1/x

3. Находим третью производную функции y=xlnx:

d^3y/dx^3 = (d/dx)(1/x) = -1/x^2

4. Вычисляем значение третьей производной в точке x0 = 2:

d^3y/dx^3|x=2 = -1/2^2 = -1/4 ≈ -0,25

Таким образом, значение третьей производной функции у=xlnx в точке х0 = 2 с точностью до 0,01 составляет примерно -0,25.

Совет: При решении задач по нахождению производных функций, важно помнить правила дифференцирования и уметь применять их на практике. Для более глубокого понимания материала рекомендуется выполнить больше упражнений по нахождению производных различных функций и обратиться к учебнику или онлайн-курсам для более подробной информации.

Задача на проверку: Найдите четвертую производную функции y=xlnx.