Каково значение основного неопределенного интеграла ∫dxx2+a2? 1) 12aln∣∣∣x−ax+a∣∣∣+C(a≠0) 2) 1aarctgxa+C 3) arcsinxa+C

Тема: Значение основного неопределенного интеграла ∫dxx^2 + a^2

Описание: Для решения данной задачи, мы должны вычислить неопределенный интеграл ∫dxx^2 + a^2. Для начала, разделим наши дифференциалы по отдельности:

∫dxx^2 + a^2 = ∫dx/(x^2 + a^2)

Затем, чтобы решить этот интеграл, мы должны заменить переменную. В данном случае, мы можем применить замену x = a * tan(u), где a - постоянная.

dx = a * sec^2(u) * du

Используя это преобразование, мы можем переписать наш интеграл:

∫dx/(x^2 + a^2) = ∫(a * sec^2(u) * du)/(a^2 * tan^2(u) + a^2)

После сокращения a^2 в числителе и знаменателе, исходный интеграл упрощается:

∫(a * sec^2(u) * du)/(a^2 * tan^2(u) + a^2) = ∫(du)/(tan^2(u) + 1) = ∫du/(sec^2(u))

Теперь, заметим, что подынтегральное выражение эквивалентно единице. Поэтому окончательный результат будет равен:

∫du/(sec^2(u)) = u + C = arctan(x/a) + C

Таким образом, значение данного неопределенного интеграла равно arctan(x/a) + C.

Доп. материал: Вычислите значение неопределенного интеграла ∫dxx^2 + 4.

Совет: Для решения подобных задач, важно знать основные методы интегрирования и уметь использовать соответствующие замены переменных. Регулярная практика в решении интегралов поможет вам развить свои навыки и повысить скорость решения задач.

Практика: Вычислите значение неопределенного интеграла ∫dxx^2 + 9.