Каково уравнение окружности, проходящей через точки (-8; 3) и (2; 7), если центр окружности находится на прямой

Уравнение окружности, проходящей через точки (-8; 3) и (2; 7) с центром на прямой x+4y+16=0:

Для начала найдем уравнение прямой, на которой находится центр окружности. Для этого преобразуем данное уравнение в общем виде прямой Ax + By + C = 0. Данная прямая имеет вид: x + 4y + 16 = 0.

Используя формулу окружности в общем виде (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, где (a, b) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности, мы можем найти уравнение окружности.

Найдем координаты центра окружности, подставив прямую в уравнение окружности:

x + 4y + 16 = 0
x = -4y - 16

Заменяем x и y в уравнении окружности:

(-4y - 16 - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Теперь подставим точку (-8; 3), через которую проходит окружность:

(-4(3) - 16 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2
(-12 - 16 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2
(-28 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2

Аналогично, подставим точку (2; 7):

(-4(7) - 16 - a)^2 + (7 - b)^2 = r^2
(-28 - a)^2 + (7 - b)^2 = r^2

Теперь у нас есть два уравнения, содержащих неизвестные a, b и r. Вычтем одно уравнение из другого для устранения переменной r:

(-28 - a)^2 + (3 - b)^2 - ((-28 - a)^2 + (7 - b)^2) = 0
(3 - b)^2 - (7 - b)^2 = 0
9 - 6b + b^2 - 49 + 14b - b^2 = 0
-35 + 8b = 0
8b = 35
b = 35/8

Теперь найдем значение a:

(-28 - a)^2 + (3 - b)^2 = r^2
(-28 - a)^2 + (3 - 35/8)^2 = r^2

Решим это уравнение численно:

(-28 - a)^2 + (24/8 - 35/8)^2 = r^2
(-28 - a)^2 + (-11/8)^2 = r^2

Теперь мы можем написать окончательное уравнение окружности, используя найденные значения a, b и r:

(x + 35/8)^2 + (y - 35/8)^2 = r^2