Каково решение для неравенства ((5x+2)² ≥ (4-2x)²)?

Тема: Решение неравенств с квадратами

Инструкция:

Для решения данного неравенства с квадратными выражениями ((5x+2)² ≥ (4-2x)²), нам понадобится использовать несколько шагов. Давайте начнем:

1. Раскроем скобки в обоих частях неравенства:
(25x² + 20x + 4) ≥ (16 - 16x + 4x²)

2. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить неравенство в стандартной форме:
25x² + 20x + 4 - 16 + 16x - 4x² ≥ 0

3. Приведем подобные члены:
9x² + 36x - 12 ≥ 0

4. Проверим, существуют ли корни этого квадратного уравнения:
Дискриминант D = b² - 4ac = (36)² - 4(9)(-12) = 1296 + 432 = 1728
Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных корня.

5. Найдем корни квадратного уравнения:
x₁ = (-b + √D) / (2a) = (-36 + √1728) / (2*9) ≈ -1,43
x₂ = (-b - √D) / (2a) = (-36 - √1728) / (2*9) ≈ -4,57

Теперь нам нужно найти интервалы, на которых неравенство ((5x+2)² ≥ (4-2x)²) истинно:

6. Построим числовую прямую и отметим найденные корни:
-4.57 -1.43
------------------0------------------

7. Выберем по одной проверочной точке из каждого интервала, обозначенного на числовой прямой, и проверим выполнение неравенства. Например, можно выбрать -5, 0 и 1 в качестве проверочных точек.

8. Подставляем значения проверочных точек в исходное неравенство ((5x+2)² ≥ (4-2x)²) и проверяем его истинность для каждой точки.

9. После проведения проверки мы выясним, в каких интервалах неравенство выполняется или не выполняется.

Совет: Чтобы легче понять, как решать неравенства с квадратами, полезно знать свойства квадратных чисел и уметь раскрывать скобки.

Упражнение: Решите неравенство ((3x-1)² > (2+4x)²) и определите интервалы, на которых оно выполняется.