Каково минимальное значение функции y=2x+288/x +14 на интервале (0.5;25)?

Содержание вопроса: Решение задач на нахождение минимального значения функции на заданном интервале

Пояснение:
Для нахождения минимального значения функции на заданном интервале следует использовать следующий алгоритм:
1. Изучите функцию и найдите ее область определения. В данном случае функция y=2x+288/x +14 определена на всей числовой прямой, кроме значения x=0, потому что в знаменателе присутствует выражение 288/x.
2. Найдите критические точки функции на интервале (0.5;25), которые определяются как значения x, при которых производная функции равна нулю либо не существует. Для этого возьмите производную функции, приравняйте ее к нулю и решите полученное уравнение.
3. Найдите значение функции в найденных критических точках и на концах интервала (0.5;25). Для этого подставьте найденные значения x в исходную функцию.
4. Выберите минимальное значение из найденных значений функции.

Пример:
Минимальное значение функции y=2x+288/x +14 на интервале (0.5;25) можно найти, следуя описанному алгоритму:
1. Область определения функции – все значения x, кроме x=0.
2. Найдем производную функции: y" = 2 - 288/x^2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение: 2 - 288/x^2 = 0. Получим x^2 = 144, откуда x = ±12.
3. Вычислим значение функции в найденных критических точках и на концах интервала:
Для x = 0.5: y = 2(0.5) + 288/(0.5) + 14 = 1 + 576 + 14 = 591
Для x = 12: y = 2(12) + 288/(12) + 14 = 24 + 24 + 14 = 62
Для x = 25: y = 2(25) + 288/(25) + 14 = 50 + 11.52 + 14 = 75.52
4. Минимальное значение функции равно 62.

Совет:
Для успешного решения подобных задач рекомендуется выучить навыки нахождения производных, а также умение составлять и решать уравнения. Это поможет вам более легко и точно найти критические точки и далее найти минимальное значение функции.

Закрепляющее упражнение:
Найдите минимальное значение функции y = x^3 - 12x^2 + 36x + 6 на интервале (0;3).

Содержание: Минимальное значение функции

Описание: Чтобы найти минимальное значение функции на заданном интервале, нам нужно найти точку экстремума. Для этого мы можем использовать производную функции.

Для данной функции y=2x+288/x +14, сначала найдем ее производную. Для этого применим правила дифференцирования. Имеем:

y" = (2 - 288/x^2)

Теперь найдем точки, где первая производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение:

2 - 288/x^2 = 0

Упростим это уравнение:

288/x^2 = 2

Перепишем в квадрате:

12/x = ±√2

Получим два уравнения:

12/x = √2 и 12/x = -√2

Решим каждое из этих уравнений для x. Получим:

x = 12/√2 и x = 12/-√2

Учитываем, что интервал (0.5;25), поэтому x = 12/√2 не подходит, т.к. оно выходит за границы интервала.

Теперь найдем значение функции в найденной точке экстремума и запишем это в виде таблицы:

| x | y |
|:-------:|:-------:|
| 12/-√2 | -√2(12√2-288)/12+14 |

Вычислим это значение:

y = -√2(12√2-288)/12+14

Таким образом, минимальное значение функции на интервале (0.5;25) равно полученному значению.

Совет: Чтобы лучше понять этот тип задач, полезно знать, как найти экстремумы функции, используя производную. Также важно регулярно практиковаться, чтобы научиться определять, какая точка является точкой минимума или максимума.

Задание для закрепления: Найдите максимальное значение функции y = 3x^2 - 12x + 5 на интервале (0; 5).