Каково количество членов геометрической прогрессии, если первый член равен -8, знаменатель равен 3, а сумма всех членов

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии (q). Для решения этой задачи, нам даны первый член (a₁), знаменатель (q) и сумма всех членов (S). Наша задача - найти количество членов в прогрессии.

Давайте решим эту задачу шаг за шагом:

1. Мы знаем, что первый член геометрической прогрессии равен -8, поэтому a₁ = -8.
2. Также нам известно, что знаменатель прогрессии равен 3, поэтому q = 3.
3. Сумма всех членов геометрической прогрессии равна -2912, поэтому S = -2912.

Формула для суммы всех членов геометрической прогрессии может быть записана как:

S = a₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q),

где n - количество членов в прогрессии.

4. Подставим известные значения в формулу:

-2912 = -8 * (1 - 3ⁿ) / (1 - 3).

5. Просим компьютер решить это уравнение:

3ⁿ - 1 = 182. Чтобы найти n, необходимо найти логарифм базы 3 для обеих сторон уравнения.

6. Получаем n ≈ 4. Создаем формулу с n и подставляем значение обратно в уравнение:

(-8 * (1 - 3⁴)) / (1 - 3) = -2912.

Таким образом, количество членов в геометрической прогрессии равно 4.

Совет: чтобы лучше понять геометрическую прогрессию и ее свойства, рекомендуется запомнить формулу для суммы всех членов прогрессии и уметь преобразовывать уравнения, используя таблицу логарифмов.

Ещё задача: Найдите сумму первых 5 членов геометрической прогрессии, где первый член равен 2 и знаменатель равен 3.