Какова вероятность, что студент успешно сдаст а) ровно 2 экзамена, в) не менее двух экзаменов, при условии

Тема урока: Вероятность успешной сдачи экзаменов

Пояснение: Вероятность успешной сдачи каждого экзамена равна 0,7. Для вычисления вероятности указанных событий (ровно 2 экзамена и не менее двух экзаменов) мы будем использовать формулу биномиального распределения.

а) Для того, чтобы вычислить вероятность успешной сдачи ровно 2 экзаменов, мы будем использовать следующую формулу: P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k), где n - количество экзаменов, k - количество успешно сданных экзаменов, p - вероятность успешной сдачи экзамена, C(n, k) - число сочетаний из n по k. В данном случае, n = 5 (5 экзаменов), k = 2 (2 успешно сданных экзамена), p = 0,7. Подставив значения в формулу, мы получим:

P(X=2) = C(5, 2) * 0,7^2 * (1-0,7)^(5-2)

Посчитав это выражение, мы найдем вероятность успешной сдачи ровно 2 экзаменов.

б) Для вычисления вероятности успешной сдачи не менее двух экзаменов, мы можем использовать сумму вероятностей успешной сдачи двух, трех, четырех и пяти экзаменов. То есть:

P(X>=2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

Вычислив каждую из этих вероятностей с помощью формулы из пункта а), мы найдем вероятность успешной сдачи не менее двух экзаменов.

Демонстрация:
а) Найти вероятность успешной сдачи ровно 2 экзаменов при условии, что вероятность успешной сдачи каждого экзамена равна 0,7.
б) Найти вероятность успешной сдачи не менее двух экзаменов при условии, что вероятность успешной сдачи каждого экзамена равна 0,7.

Совет: Для более легкого понимания формулы и вычислений, рекомендуется использовать таблицы сочетаний и степеней числа 0,7 для их удобного вычисления.

Задача на проверку: Найдите вероятность успешной сдачи ровно 3 экзаменов при условии, что вероятность успешной сдачи каждого экзамена равна 0,6.

Тема урока: Вероятность успешной сдачи экзаменов

Инструкция: Чтобы решить данную задачу, нам необходимо знать вероятность успешной сдачи каждого экзамена, а также требования задачи относительно количества успешно сданных экзаменов.

а) Чтобы найти вероятность успешной сдачи ровно 2 экзаменов, мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения. В данном случае, для двух экзаменов, вероятность успешной сдачи каждого экзамена равна 0,7. Формула вероятности равна nCr * p^r * (1-p)^(n-r), где n - общее количество экзаменов, r - количество успешно сданных экзаменов, p - вероятность успешной сдачи каждого экзамена, (1-p) - вероятность несдачи каждого экзамена.

Подставляем значения в формулу: вероятность = 2C2 * 0,7^2 * (1-0,7)^(2-2) = 1 * 0,7^2 * 0,3^0 = 0,49.

Ответ: вероятность успешной сдачи ровно 2 экзаменов составляет 0,49.

в) Чтобы найти вероятность успешной сдачи не менее двух экзаменов, мы можем применить закон дополнения. Закон дополнения гласит, что вероятность произойдет хотя бы одно событие равна 1 минус вероятность, что не произойдет ни одно событие. В данном случае, мы можем найти вероятность несдачи ни одного экзамена (вероятность = (1-0,7)^3), и затем вычесть это значение из 1.

Вычислим: вероятность = 1 - (1-0,7)^3 = 1 - 0,3^3 = 1 - 0,027 = 0,973.

Ответ: вероятность успешной сдачи не менее двух экзаменов составляет 0,973.

Совет: Для лучшего понимания вероятностных задач, полезно знать основные понятия вероятности, такие как биномиальное распределение, формула nCr (количество комбинаций), а также закон дополнения. При решении вероятностных задач, важно внимательно читать условие задачи и правильно выбирать соответствующую формулу для решения.

Задание для закрепления: На экзамене студенту предстоит ответить на 5 вопросов. Каждый вопрос имеет 4 варианта ответа. Если студент не знает некоторых ответов и отвечает наугад, какова вероятность того, что он правильно ответит на два вопроса или больше? (Предположим, что вероятность правильного ответа на каждый вопрос равна 0,25).