Какова сумма первых шести членов геометрической прогрессии, если её знаменатель равен 3, а разность между шестым

Тема: Геометрическая прогрессия

Пояснение: Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.

Для решения этой задачи, нам дан знаменатель прогрессии, равный 3, и разность между шестым и вторым членами, равную 480.

Пусть первый член прогрессии будет равен "a". Тогда второй член будет равен "ar", где "r" - знаменатель прогрессии (в данном случае 3). Шестой член прогрессии будет равен "ar^5".

По условию, разность между шестым и вторым членами равна 480:
"ar^5 - ar = 480".

Мы можем использовать это уравнение, чтобы найти значение "a".

Решая уравнение, мы получаем:
"480 = ar^5 - ar"
"480 = a(r^5 - 1)"
"a = 480 / (r^5 - 1)"

Теперь, когда у нас есть значение "a", мы можем найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, используя формулу:
"S = a(1 - r^n) / (1 - r)",

где "S" - сумма первых "n" членов прогрессии.

Подставляя значения, мы получаем:
"S = a(1 - r^6) / (1 - r)".

Дополнительный материал:
Задача: Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если её знаменатель равен 3, а разность между шестым и вторым членами равна 480.

Решение:
Мы уже нашли значение "a" равное 480 / (3^5 - 1) = 18.

Теперь, используя формулу суммы геометрической прогрессии, мы можем найти сумму первых шести членов:
S = 18(1 - 3^6) / (1 - 3) = 18(1 - 729) / (-2) = 18(-728) / (-2) = 13104 / 2 = 6552.

Ответ: Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 6552.

Совет: Для более легкого понимания и решения задач по геометрической прогрессии, вы можете использовать формулы и принципы прогрессий, а также проводить необходимые вычисления по шагам. Это поможет вам разложить сложные задачи на более простые составляющие и получить правильный ответ.

Дополнительное задание: Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её знаменатель равен 2, а первый член равен 7.