Какова сумма катетов данного прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5/4, а высота

Постановка задачи: Мы имеем прямоугольный треугольник, в котором медиана, проведенная к гипотенузе, равна 5/4, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 6/5. Нам нужно найти сумму катетов этого треугольника.

Решение:
Чтобы решить эту задачу, мы воспользуемся свойствами прямоугольных треугольников и формулами, связанными с их сторонами.

1. Давайте обозначим сумму катетов буквой *а*.
2. Мы знаем, что для прямоугольного треугольника гипотенуза делится медианой на две равные части. Значит, *2/3* гипотенузы равно медиане. Медиана равна *5/4*, поэтому мы можем записать следующее уравнение:
*2/3* гипотенузы = *5/4*.
3. Теперь найдем гипотенузу. Умножим оба края уравнения на *3/2* для того, чтобы избавиться от деления:
гипотенуза = (*5/4*) * (*3/2*).
4. Упростим выражение, умножая числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:
гипотенуза = *15/8*.
5. Помните, что у нас есть еще высота, проведенная к гипотенузе. По свойству прямоугольного треугольника, произведение катета на высоту, проведенную к нему, равно площади треугольника. У нас есть формула для площади треугольника: *1/2* произведение катетов, равная *6/5*:
(*а*) * (6/5) = *1/2* (*а* * *а*).
6. Раскроем скобки и получаем следующее уравнение:
*6/5* * *а* = *1/2* * *а*².
7. Умножим оба края уравнения на *10/6* для избавления от деления:
*10/6* (*6/5* * *а*) = *10/6* (*1/2* * *а*²).
8. Упростим:
*2/3* * *а* = *5/6* * *а*².
9. Разделим оба края уравнения на *а* и упростим:
*2/3* = *5/6* * *а*.
10. Выразим *а*:
*а* = (*2/3*) / (*5/6*).
11. Упростим выражение, умножая числитель на обратное значение знаменателя:
*а* = (*2/3*) * (*6/5*).
12. Рассчитаем значение *а*:
*а* = *12/15*.
13. Упростим выражение:
*а* = *4/5*.

Таким образом, сумма катетов данного прямоугольного треугольника равна *4/5*.