Какова сумма бесконечно уменьшающейся геометрической прогрессии, если b2=-1 и b5=27/125?

Постановка задачи: Вам дана запись геометрической прогрессии, где второй член b2 равен -1, а пятый член b5 равен 27/125. Вам нужно найти сумму этой бесконечно уменьшающейся геометрической прогрессии.

Решение: В геометрической прогрессии каждый член равен предыдущему, умноженному на какое-то постоянное число, называемое знаменателем прогрессии.
Поэтому, чтобы найти знаменатель прогрессии, нам нужно разделить пятый член на второй:
b5/b2 = (27/125) / (-1) = -27/125.

Мы знаем, что знаменатель прогрессии равен -27/125, а формула для суммы бесконечно уменьшающейся геометрической прогрессии имеет вид:
S = a / (1 - r),

где S - сумма прогрессии, a - первый член прогрессии и r - знаменатель прогрессии.

Теперь нам нужно найти первый член прогрессии a. Мы можем использовать формулу для нахождения a:
a = b1 * r,

где b1 - первый член прогрессии и r - знаменатель прогрессии. Подставляя значения:
a = b2 * r = -1 * (-27/125) = 27/125.

Теперь, когда у нас есть значения a и r, мы можем найти сумму прогрессии S:
S = a / (1 - r) = (27/125) / (1 - (-27/125)).

Вычисляя это выражение, мы получим значение суммы прогрессии.

Ответ: Сумма бесконечно уменьшающейся геометрической прогрессии равна (27/125) / (1 - (-27/125)).

Содержание: Бесконечная уменьшающаяся геометрическая прогрессия

Разъяснение: Бесконечная уменьшающаяся геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждое следующее число равно произведению предыдущего числа на постоянное число, называемое знаменателем. Для такой прогрессии справедлива формула общего члена: bn = b1 * q^(n-1), где bn - n-й член прогрессии, b1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

В данной задаче известны значения b2 и b5, поэтому мы можем составить систему уравнений и найти значение знаменателя (q).

Из уравнения b2 = b1 * q^(2-1) = b1 * q следует, что b1 = b2 / q.

Из уравнения b5 = b1 * q^(5-1) = b1 * q^4 = (b2 / q) * q^4 = b2 * q^3 следует, что q^3 = b5 / b2.

Теперь можем найти значение знаменателя: q = (b5 / b2)^(1/3).

Наконец, чтобы найти сумму бесконечной уменьшающейся геометрической прогрессии, используем формулу суммы прогрессии: S = b1 / (1 - q).

Доп. материал: В данной задаче нам необходимо найти сумму бесконечной уменьшающейся геометрической прогрессии, если b2 = -1 и b5 = 27/125.
Решение:
b1 = b2 / q = -1 / ((27/125)^(1/3)) = -5.
q = (b5 / b2)^(1/3) = ((27/125) / (-1))^(1/3) = -3/5.
S = b1 / (1 - q) = (-5) / (1 - (-3/5)) = (-5) / (8/5) = -25/8.

Совет: Чтобы легче понять и запомнить формулу суммы бесконечной уменьшающейся геометрической прогрессии, рекомендуется разобраться в процессе получения этой формулы, который основан на замене суммы прогрессии S на выражение, включающее саму сумму S.

Дополнительное упражнение: Найдите сумму бесконечной уменьшающейся геометрической прогрессии, если b2 = 2 и b5 = 1/64.