Какова производная функции z=x6y2 в точке N(2–√;32–√) в направлении биссектрисы первого координатного угла?

Содержание вопроса: Производные функций

Объяснение: Чтобы найти производную функции z = x^6y^2 в точке N(2-√, 3-√) в направлении биссектрисы первого координатного угла, мы должны использовать понятие градиента и направления наибольшего возрастания функции.

Сначала мы найдем частные производные по каждой переменной. Для этого возьмем производную по x, считая y постоянной:
dz/dx = 6x^5y^2

Затем найдем производную по y, считая x постоянной:
dz/dy = 2x^6y

Подставим координаты точки N(2-√, 3-√) и найдем значения этих производных:
dz/dx = 6(2-√)^5(3-√)^2
dz/dy = 2(2-√)^6(3-√)

Теперь найдем градиент функции. Градиент - это вектор, совпадающий по направлению с направлением наибольшего возрастания функции. Градиент вычисляется следующим образом:
grad(z) = (dz/dx, dz/dy)

Подставим значения частных производных вектора градиента:
grad(z) = (6(2-√)^5(3-√)^2, 2(2-√)^6(3-√))

Теперь найдем вектор направления биссектрисы первого координатного угла. Для этого нормализуем вектор (1, 1):
v = (1/√2, 1/√2)

Наконец, чтобы найти производную функции z в направлении биссектрисы первого координатного угла, умножим градиент на вектор направления:
dz/dv = grad(z) · v

Выполним соответствующие вычисления, чтобы получить окончательный ответ.

Дополнительный материал:
Задача: Найдите производную функции z = x^6y^2 в точке N(2-√, 3-√) в направлении биссектрисы первого координатного угла.

Совет: Чтобы лучше понять эту тему, рекомендуется повторить понятие градиента, производных и направления наибольшего возрастания функции.

Задание:
Найти производную функции z = 3x^2y^3 в точке A(1, 2) в направлении b(2, -1).