Какова производная функции z=x^2-2xy+3y-1 в точке (1;2) вдоль направления l (-1

Производная функции вдоль направления

Объяснение: Для нахождения производной функции вдоль заданного направления нам понадобится использовать градиент функции и направление, заданное вектором.

Первый шаг - найти градиент функции. Градиент - это вектор, составленный из частных производных функции по каждой переменной.

Функция z = x^2 - 2xy + 3y - 1, поэтому найдем ее частные производные по переменным x и y:

∂z/∂x = 2x - 2y (1)
∂z/∂y = -2x + 3 (2)

Затем находим значение этих частных производных в заданной точке (1;2):

∂z/∂x в точке (1;2) = 2 * 1 - 2 * 2 = -2 (3)
∂z/∂y в точке (1;2) = -2 * 1 + 3 = 1 (4)

Далее, заданное направление l (-1;1) представляется вектором, состоящим из координат x и y.

Теперь мы можем вычислить производную функции вдоль заданного направления, используя формулу:

∇f · d = |∇f| * |d| * cos(θ)

∇f - градиент функции
d - вектор направления
|∇f| - модуль градиента функции (5)
|d| - модуль вектора направления (6)
θ - угол между градиентом функции и направлением (7)

Выражение (5) - (7) здесь используются для подсчета значения производной функции в заданной точке вдоль заданного направления.

Пример:
В точке (1;2) вдоль направления (-1;1) производная функции z=x^2-2xy+3y-1 равна -√2.

Совет:
Для лучшего понимания этой темы рекомендуется:

1. Внимательно изучить процесс нахождения градиента функции.
2. Познакомиться с понятием направления и его представлением в виде вектора.
3. Применять формулу производной функции вдоль заданного направления для решения подобных задач.

Упражнение:
Найдите производную функции f(x, y) = x^3 + 2xy^2 - 3y по направлению l = (2, -1) в точке (1, -1).