Площадь области, ограниченной кривой, ее касательной и прямой
Какова площадь области, ограниченной кривой, заданной уравнением y = x^3 - 3, ее касательной в точке с абсциссой x
Какова площадь области, ограниченной кривой, заданной уравнением y = x^3 - 3, ее касательной в точке с абсциссой x = 1 и прямой x = 0, при условии, что эта область находится в правой половине координатной плоскости? Пожалуйста, подробно опишите.
15.12.2023 03:34
Написать свой ответ:
Пояснение: Чтобы определить площадь области, ограниченной кривой y = x^3 - 3, ее касательной в точке с абсциссой x = 1 и прямой x = 0, нам необходимо сделать следующие шаги:
1. Найдем точку пересечения кривой и прямой. Подставляя x = 0 в уравнение кривой, получим y = -3. Таким образом, точка пересечения (0, -3) находится на кривой.
2. Найдем угловой коэффициент касательной к кривой в точке (1, -2). Это можно сделать, найдя производную от уравнения кривой и подставив x = 1. Производная y" = 3x^2. Подставляя x = 1, получим y" = 3. Таким образом, угловой коэффициент касательной равен 3.
3. Теперь, используя найденный угловой коэффициент и точку пересечения, составим уравнение касательной. Уравнение касательной имеет вид y - y1 = m(x - x1), где (x1, y1) - точка на кривой, m - угловой коэффициент. Подставляя значения x1 = 1, y1 = -2 и m = 3, получим уравнение касательной: y + 2 = 3(x - 1).
4. Найдем точку пересечения касательной и прямой x = 0, подставляя x = 0 в уравнение касательной. Получаем y = -2 + 3(0 - 1) = -5. Таким образом, точка пересечения (0, -5) находится на касательной.
5. Теперь у нас есть две точки, образующие основание треугольника: (0, -3) и (0, -5). Найдем расстояние между этими точками, которое будет высотой треугольника.
6. Зная основание и высоту треугольника, можно найти его площадь. Формула для нахождения площади треугольника: S = (база * высота) / 2.
Демонстрация: Площадь области, ограниченной кривой y = x^3 - 3, ее касательной в точке с абсциссой x = 1 и прямой x = 0 в правой половине координатной плоскости равна ...
Совет: Чтобы легче понять задачу, можно построить график уравнения кривой y = x^3 - 3, нарисовать точки пересечения и касательную. Это поможет визуализировать задачу и лучше понять, какие расчеты нужно провести.
Задача на проверку: Найдите площадь области, ограниченной кривой y = 2x^2 - 4, ее касательной в точке с абсциссой x = 2 и прямой x = 1 при условии, что эта область находится в правой половине координатной плоскости.