1. Докажите, что если (E+a)^(-1)=E+B, то A+B+AB=0 Линейная алгебра 2. Докажите, что если A^2=0, то (E+A)^(-1)=E-A

Предмет вопроса: Доказательство в линейной алгебре

Разъяснение:
Для доказательства этих утверждений вам пригодятся свойства обратных идентичных матриц. Давайте начнем с первого утверждения.

1. Дано: (E + A)^(-1) = E + B
Мы хотим доказать: A + B + AB = 0

Сначала найдем обратную матрицу для A: A^(-1).
Затем, умножим обе части уравнения на A справа:
(A + B)(A^(-1)A) = 0
(A + B)(E) = 0
A + B = 0 - B (здесь мы использовали свойство нулевой матрицы)

Также известно, что AB = BA, поэтому мы можем переписать последнее равенство:
A + B = -B
A + B + AB = -B + AB = 0.

Теперь перейдем ко второму утверждению.

2. Дано: A^2 = 0
Мы хотим доказать: (E + A)^(-1) = E - A

Найдем обратную матрицу для E - A: (E - A)^(-1).

Пользуясь формулой для обратной матрицы произведения двух матриц:
(E + A)(E - A) = E^2 - AE + AE - A^2 = E - A^2.

Так как A^2 = 0, то: (E + A)(E - A) = E.

Умножим обе части полученного равенства на (E + A)^(-1):
(E + A)^(-1)(E + A)(E - A) = (E + A)^(-1)E
(E - A)(E + A)^(-1)(E + A) = E.
Так как (E + A)^(-1)(E + A) = E:
(E - A) = E.

Обе части равенства равны, поэтому (E + A)^(-1) = E - A.

Совет: Внимательно прочитайте условие задачи и определения обратных идентичных матриц перед началом доказательств. Помните, что при доказательстве важно аккуратно следовать всем шагам и не пропустить никаких деталей.

Ещё задача: Докажите, что если AB = BA, то (A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2.