Какова наименьшая площадь четырёхугольника, который образуется перпендикулярной линией от боковой стороны

Тема занятия: Вписанная окружность в четырехугольник

Пояснение: Чтобы найти наименьшую площадь четырехугольника, в который можно вписать окружность, нам нужно вспомнить центральную теорему четырехугольника. Она гласит, что сумма противоположных углов в четырехугольнике равна 180 градусам.

Пусть $ABC$ - равнобедренный треугольник, где $AB = AC = 20$, $BC = 24$. Проведем перпендикулярную линию из точки $C$ до прямой $AB$. Эта линия разделит треугольник $ABC$ на два прямоугольных треугольника $AEC$ и $BDC$.

Так как $AEC$ и $BDC$ - прямоугольные треугольники, то углы $AEC$ и $BDC$ равны 90 градусам.

Из центральной теоремы четырехугольника следует, что сумма противоположных углов $ECD$ и $EAB$ также равна 180 градусам. Угол $ECD$ равен 90 градусам, так как это прямой угол, и угол $EAB$ будет равен 90 градусам.

Следовательно, мы можем образовать прямоугольник $ABCD$, в котором углы $BCD$, $CDA$ и $DAB$ равны 90 градусам, и наименьшая площадь этого прямоугольника будет равна произведению его двух сторон $AB$ и $BC$, то есть $20 \times 24 = 480$.

Теперь, чтобы в вписывать окружность в прямоугольник, радиус окружности должен быть равен половине длины одной из сторон прямоугольника. Таким образом, радиус окружности будет равен $24/2 = 12$, и площадь четырехугольника $ABCD$ с вписанной окружностью будет равна $480 + \pi \cdot 12^2 = 480 + 144\pi$.

Совет: Чтобы лучше понять концепцию вписанных окружностей в фигуры, полезно визуализировать фигуру и проводить наглядные доказательства.

Практика: Найдите наименьшую площадь четырехугольника, который образуется перпендикулярной линией от основания равнобедренного треугольника со сторонами 12 и основанием 16, и в который можно вписать окружность.