Минимальная длина отрезка
Какова минимальная длина отрезка $$OM$$? Окружность с центром в первой координатной четверти касается оси $$Ox$$
Какова минимальная длина отрезка $$OM$$? Окружность с центром в первой координатной четверти касается оси $$Ox$$ в точке $$M$$. Она также пересекает две гиперболы $$y = \dfrac {k_1}{x}$$ и $$y = \dfrac {k_2}{x}$$ $$(k_1, k_2 > 0)$$ в точках $$A$$ и $$B$$ так, что прямая $$AB$$ проходит через начало координат $$O$$. Известно, что $$k_1k_2 = 225$$.
12.11.2023 14:31
Написать свой ответ:
Объяснение:
Для решения данной задачи, нам потребуется использовать геометрические и алгебраические концепции.
Поскольку окружность с центром в первой координатной четверти касается оси Ox в точке M, то мы можем представить радиус этой окружности как OM.
Далее, имея уравнения гиперболы y = k₁/x и y = k₂/x и зная, что прямая AB проходит через начало координат O, мы можем найти точки пересечения гипербол с окружностью и началом координат.
Применяя уравнение гиперболы к окружности, получаем:
k₁/x = √(x² + y²) и k₂/x = √(x² + y²)
Далее, возводим оба уравнения в квадрат, получаем:
k₁²/x² = x² + y² и k₂²/x² = x² + y²
Суммируя оба уравнения, получаем:
k₁²/x² + k₂²/x² = 2x² + 2y²
Зная, что k₁k₂ = 225, мы можем сделать замену:
x² + y² = 225/2
Объединяя этот результат с уравнением окружности, получаем:
x² + y² = OM²
Подставляя значения из предыдущей замены и решая уравнение, находим:
OM² = 225/2
Следовательно, минимальная длина отрезка OM равна √(225/2).
Доп. материал:
Дано: k₁ = 15, k₂ = 15.
Минимальная длина отрезка OM = √(225/2) = √(112.5) = 10.606
Совет:
При решении задач, связанных с геометрией и уравнениями, полезно представлять графическую интерпретацию задачи. Также стоит обратить внимание на знаки коэффициентов при x и y в уравнениях гиперболы, чтобы исключить избыточные решения.
Задача на проверку:
Дано: k₁ = 10, k₂ = 15.
Найдите минимальную длину отрезка OM.
Пояснение: Для решения этой задачи сначала нам необходимо найти точки пересечения окружности с гиперболами для определения координат точек A и B. Затем мы можем использовать формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат для нахождения длины отрезка OM.
Пусть координаты точки M будут (a, 0). Так как окружность касается оси Ox в точке M, то радиус этой окружности будет равен a.
Чтобы найти точки A и B пересечения окружности с гиперболами, подставим уравнения гипербол в уравнение окружности. Получим два уравнения вида a^2 = k/x, где k - произведение коэффициентов k1 и k2 (k = k1 * k2). Решив эти уравнения, найдем абсциссы точек A и B.
Зная координаты точек A и B (xA, yA) и (xB, yB), мы можем вычислить расстояние между точками O и M с помощью формулы расстояния между двумя точками: d = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2).
Таким образом, минимальная длина отрезка OM будет равна найденному расстоянию d.
Пример: Коэффициенты k1 и k2 в задаче равны 15 и 15 соответственно. Найдем минимальную длину отрезка OM.
Совет: Для лучшего понимания этой задачи полезно знать уравнения окружности и гиперболы. Также ознакомьтесь с формулами для нахождения расстояния между двумя точками в декартовой системе координат.
Ещё задача: В задачеуровне решения указано, что k1k2 = 225. Найдите минимальную длину отрезка OM.